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KAPITEL X. 
BESTIMMUNG DER FUNKTIONEN DURCH IHRE NULLPUNKTE 
UND SINGULÄREN PUNKTE. 
GANZE TKANSCENDENTE PUNKTIONEN, 
94. Wir wollen nunmehr auf eine nähere Untersuchung 
ganzer transcendenter Funktionen eingehen; von diesen wissen 
wir, dass sie einen wesentlich singulären Punkt im Punkte oo 
haben, und dass sie sich von einem beliebigen Punkte der 
Ebene aus in Potenzreihen entwickeln lassen, die unbedingt 
konvergent sind für alle endlichen Werte von z. Ist u — f(z) 
die Funktion, so wird z als Funktion von u unendlichdeutig. 
Das folgt aus Picards Satz, nach dem die Gleichung f[z) = u 
für höchstens einen endlichen Wert von u eine endliche An 
zahl von Lösungen haben kann. Zur Funktion z gehört also 
eine Riemannsehe Fläche mit unendlich vielen Blättern, und 
diese werden auf der s-Ebene so abgebildet, dass diese gerade 
einmal überdeckt wird. 
Die notwendige und ausreichende Bedingung dafür, dass 
eine Potenzreihe 2a n z n eine ganze Funktion darstellt, ist die 
(Hadamar d), dass 
I n _ I 
\]/a n \ 
gleichmässig nach Null zu konvergiert. Wir verstehen hier 
unter, dass man, wenn e eine beliebig kleine gegebene positive 
Grösse darstellt, ein solches n finden kann, dass für dieses und 
grössere n 
| n I 
V«n < f * 
Dass diese Bedingung notwendig ist folgt daraus, dass 
\a n z n \ für ein beliebiges 0 nach Null zu konvergieren soll; sie 
ist ausreichend, weil 
a n z n | + \a H+1 z n + i \ + ... <\ez\ n + \ez\* +i -f ...