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s die Seiten des 
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KAPITEL III. 
KOMPLEXE INTE GRATIONS WEGE. 
REELLE RANDINTEGRALE. 
20. P und Q seien zwei reelle Funktionen der recht 
winkeligen Koordinaten x und y\ von diesen nehmen wir an, 
dass sie, gleichgültig auf welche AVeise, als überall stetig und 
eindeutig definiert sind in einem gewissen Flächenstück, das in 
einer Ebene oder auf einer Riemannschen Fläche liegt und 
von einer oder mehreren Randkurven begrenzt wird. Ferner 
setzen wir voraus, dass die Funktionen sich differentiieren 
lassen. Wir wollen dann nach weisen, dass das Doppelintegral 
wo die Integration auf das ganze gegebene Flächenstück aus 
gedehnt werden soll, sich in ein einfaches Integral, genommen 
längs den Randkurven, verändern lässt. 
Wir teilen das Flächenstück in unendlich viele, unendlich 
schmale Streifen mit Hülfe von Geraden, die der «-Axe parallel 
sind. Jeder Streifen wird dann von zwei Pa 
rallelen und von zwei Bogenelementen, die zu 
derselben oder zu verschiedenen Randkurven 
gehören, begrenzt. Ein Streifen kann ganz in 
einem Blatt liegen, er kann aber auch über 
einen Verzweigungsschnitt hinausgehen und 
dadurch in mehreren Blättern zu liegen kommen. Die be 
grenzenden Bogenelemente machen zusammen genau alle Rand 
kurven aus. Kommen Verzweigungspunkte vor, so denken wir 
uns, dass immer eine von den Parallelen durch jeden solchen 
Punkt geht. 
Wir betrachten nun den einen Teil des Integrales, nämlich