22 
rio. In Hyperbola (fig. 77) ABCD, si AB 
BC 
Ba = 1, 
fiat EM == 
spatio hyperb. EBCF 
et sic ubique; e m vero 
BE 
spatio hyperb. eBCf . .. __ 
= , et sic ubique: erit spatium ABLN ={- 
+ i + y + tV etc - spatium vero aBLn erit = {—i + i— ru etc. 
Praeterea spatium ABLN erit duplum spatii aBLn, et per conse 
quens, quod probe notasti, data summa \—J + ■£ — etc. ha 
betur etiam summa i + i + -y + iV etc. Haec enim illius dupla 
est. Quod si ulterius spatia BLME et BLme applicentur ad BE 
et B e, prodibunt nova spatia pro cubis + i + ut + -5V etc. et 
i — i + tiV — -ut (; tc. et ita porro pro biquadratricis. Quamvis 
autem omnes istae series sint insummabiles, possum tamen, non 
ineleganti quodam artificio, illas dispescere in partes datam habentes 
rationem; sic series generalis potestatis numeri n est haec -y 
+ ~ etc. multiplicatis numeratoribus et denominatori- 
bus per datum numerum ad n elevatum, ex. gr. per 2 re , erit 
1111 2» 2« 2 n 2 n 
F + 2“ + r» + 4"» + etC ’ ~ 2» + F + 6" + 8» + etc * ~ 2n 
X 
1_ 1 
9» + 
+ — + — 
fj n 8" 
etc. 
Est ergo 
4« > fi» • gn —- summa terminorum 
1111, 11 
imparium ^ + _ + — + — etc. ad summam parium — + — 
+ FTi + s-r etc. ut 2 n — 1 ad 1 : et proinde A“+ k~ + f — 
6 n 8 n 1 i»‘2 n 3»'4n 
etc. ut 2 n ad 2 n - 
4 » 
+ etc . ad T \-i + 3 . 
2» 
2. 
3« 
Hinc patet 
quod supra innui (existente scilicet 11 = 2) summam 1 + 1+i + iV 
etc. esse duplam summae {—-£+-£ — A etc. Hinc etiam ultro 
sequitur summam harmonicorum esse infinitam; est enim eo in 
casu n= 1, et proinde 2 n ad 2 n —2 ut 2 ad 0, id est, summa 
r + i+i+i etc. infuiities major est summa {—1 + || e tc. 
quod hic obiter dictum velim, ideo praecipue quod memini Fratrem 
olim id ipsum longa et operosa via apodictice demonstrare insti 
tuisse, postquam ego antea illud apagogice demonstrassem, ut vi 
dere poteris ex ejus Dissertationibus de Seriebus. Jam si facimus 
1.1 1.1. 3 » 3 » 3« 3«' 
i« + a* + 3 7:+ 5» + etc - = 
3 n 
+ fi» + 9« + 12» etc - — 
12’