III. Abschnitt. 
Die Periode der exakten liekandlungsweise. 
Wie wir am Schlüsse des achtzehnten Jahrhunderts ge 
sehen haben, drängte sich allmählich das Bedürfnis strengerer 
Behandlung der Probleme den Mathematikern auf. Man fand 
für nötig, den Giltigkeitsbereich der einzelnen Reihen näher 
zu untersuchen, die Berechtigung der Anwendung allgemeiner 
Formeln zu prüfen; dazu war es notwendig Regeln aufzu 
stellen , welche die Konvergenz und Divergenz der Reihen 
entscheiden, Methoden zu suchen, welche im einzelnen Falle 
gestatten, den Rest, welchen man bei der Anwendung der 
Reihe vernachlässigt, zu schätzen. Es ergab sich aber auch 
die Notwendigkeit, zu untersuchen, ob eine Funktion, welche 
durch eine unendliche Reihe dargestellt werden kann, nicht 
ausserhalb des Konvergenzbereichs noch definiert werden kann, 
ob sie nicht über den Konvergenzbereich fortgesetzt werden 
kann. 
Im 18. Jahrhundert waren die komplexen Zahlen na 
mentlich durch Euler vielfach in die Untersuchungen herein 
gezogen worden, mehr als Hilfsmittel, um neue Formeln ab- 
zuleiten, es galt nun auch die Berechtigung dieser Einführung 
näher zu prüfen und die Funktionen zu untersuchen , deren 
Argument komplex ist. 
Mit der strengeren Auffassung namentlich des Summen