172 III. Abschnitt. 
Dies tritt stets ein, wenn die Summen 
1) Po + Pi + • . . Pn-1 
2) <?o + 2i + • • • ifre-l 
sich festen Grenzen nähern. Mit andern Worten: die Reihe 
S n ist stets konvergent, wenn die Reihen 1) und 2) es sind. 
Der I. Satz, welcher ausspricht, dass die Reihe S eine 
stetige Punktion von x in der Umgebung eines bestimmten 
Wertes von x ist, wenn die p, q stetige Funktionen von x 
sind und die Reihe in der Umgebung von x konvergiert, ist 
eine unmittelbare Folge des gleichen Satzes über reelle Reihen 
und deshalb ebenfalls nicht richtig. 
Im weiteren Verlauf der Untersuchung benützt Cauchy 
den Satz über reelle Reihen, wonach dieselben konvergieren, 
wenn die Reihen der absoluten Werte konvergieren und dehnt 
denselben aus auf die komplexen Reihen. Er erhält so ganz 
dieselben Sätze, wie die über die Reihen mit positiven und 
negativen Gliedern. 
Fügen wir hinzu, dass das 12. Kapitel die Hauptsätze 
aus der Theorie der rekurrenten Reihen enthält, so haben 
wir die wesentlichsten Punkte herausgehoben, welche für uns 
von Interesse sind. Die Entwicklung der elementaren Funk 
tionen in Reihen schliesst sich im allgemeinen an Euler’s 
Introductio in analysin infinitorum an. Nur ist eines für die 
nächste Folge von Bedeutung, die Summation der binomischen 
Reihe cp(a?, n) = 1 -f (?) x + (?) x l + . . . . 
wird durch den Nachweis geleistet, dass 
cp(«, n) . cp(x, n,) = cp(x, n + n t ) , 
und zwar wird die Summation auch ausgeführt für komplexe 
Werte von x r ). 
1) Für reelle Werte hatte dieselbe Methode benützt Stainvill e, 
vergl. Gergonne’s Annales 1818—1819.