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III. Abschnitt. 
weisen was man will: unmögliche s sowohl als mög 
liches. 
Zum Beweis der Sätze über die Stetigkeit *) der Reihen 
benützt Abel folgendes Theorem: 
Bezeichnet man durch t 0 , .. . t m eine Reihe von belie 
bigen Grössen und die Grösse p m — t 0 + + . . . t m ist stets 
kleiner als eine bestimmte Grösse 5, so hat man 
V = £ 0 t 0 + £jt i + £ 2 4 T • • • £mtm • £o i 
wo £ 0 , £,, £ 8 . . . positive abnehmende Grössen bedeuten. 
Die Stetigkeit einer f(x) wird folgendermassen definiert: 
f(x) ist eine stetige Funktion zwischen den Grenzen x = a 
und x = b, wenn für einen beliebigen Wert von x zwischen 
diesen Grenzen die Grösse f(x — ß) sich für stets abnehmende 
Werte von ß der Grenze f(x) nähert. 
Dann lautet der erste Satz über die Stetigkeit: 
Wenn die Reihe 
f(x) = v 0 + Vi& 4- v a oc. 2 + . . . v m tx m + . . . 
für einen gewissen Wert 5 von a konvergiert, so wird sie 
auch für jeden kleineren Wert von a konvergieren und 
von der Art sein, dass f(a.—$) für stets abnehmende Werte 
von ß sich der Grenze f(a.) nähert, vorausgesetzt, dass a gleich 
oder kleiner ist als d. 
Dies beweist Abel folgendermassen: 
Es sei v 0 + v t <x + v s oc 2 + . . . v TO _i a m_1 = cp(a), 
v m cc m + v m+1 oc m+1 + . . . = <Ka), 
/oc\ m l<x\ m ^' X foc\ m 
dann ist «!>(«)= (g-y v m h n + \^J v m+ iS m + 1 + ... <\^J Pi 
wo p die grösste der Grössen 
v m h m , v m 8 m 4- v m+ iS™+', v m ö m + v ra+ i5 mfl + . • . 
1) Dass der Cauchy’sche Satz über die Stetigkeit nicht richtig 
ist, zeigt Abel an der Reihe sinx — \ sin2,x-\-\ sinSx...