§ 14. Cauchy und Abel. 
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ist. Mithin kann man für jeden Wert, der gleich oder kleiner 
ist als 5, m gross genug annehmen, dass 
(«) = w, 
wo cd kleiner als jede angehbare Grösse ist. Nun ist /(a) 
= cp(a) + also /( a ) —/l a — ß) = 4>(a)— ?(« — ßj + w, 
und da nun cp(a) eine ganze Funktion von a ist, so kann 
man ß klein genug annehmen, dass 
cp(a) — cp(a — ß) = w, 
also ist auch f(a) — f(a.—ß) = w, 
wodurch der Lehrsatz bewiesen wird. 
Der Beweis enthält eine Schwierigkeit, nämlich die, dass 
er voraussetzt, dass auch 4>(S) für endliches m kleiner als 
jede beliebige Grösse werden könne. Diese Schwierigkeit hebt 
der Beweis von Dirichlet in Liouville’s Journal 1862. 
Der nächste Satz lautet: 
Es sei v 0 4- v,8 4- v 2 B 2 + . . . . 
eine konvergente Reihe, in welcher v 0 , v t , v 2 stetige Funktionen 
einer und derselben veränderlichen Grösse x sind zwischen 
den Grenzen x — a und x — h, so ist die Reihe 
f{oc) = v 0 4- v,<x +• v 2 cc 2 + . . ., 
wo a < 8, konvergent und eine stetige Funktion von x zwi 
schen diesen Grenzen. 
Die Konvergenz von f(x) ist schon bewiesen, die Stetig 
keit lässt sich folgendermassen nachweisen: 
Es sei c 0 4 »i« + . . ■ v m - X <x m - x = <p('a?), 
v m u. m -1- v m+ ia m + l 4- . . • = <K#), 
so ist f{x) — y{x) 4- <X¿c), 
!<x\ m /a \ ra+1 
aber = (g ) v ^ m + (g j 4- • • • 
<(£)“«(*),