§ 14. Canchy und Abel. 
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Dass der zweite Teil des Satzes falsch ist, zeigte Abel an 
1 1 1 
der Reihe ^ 5 + 07—0 + • 
2 log 2 3 log 3 
4- . . 
nlogn 
welche divergiert, obgleich das Olivier’sche Kriterium er 
füllt ist. Die Divergenz dieser Reihe folgt aus der Formel 
1 
log log (1 + n) < log log n 4- 
n log n ’ 
1 
woraus sich sofort ergibt 
log log (1 + n) < log log 2 + —^ + -- 1 — + . . . . 
2 log 2 3log3 nlogn 
Abel geht aber noch weiter, er zeigt, dass man keine 
Funktion cp(n) finden kann, von der Art, dass wenn a n das 
allgemeine Glied einer positiven Reihe ist, die Reihe diver 
giert, wenn cp(w) . a n für n — 00 von 0 verschieden ist und 
konvergiert, wenn cp(w) . a n — 0 ist für n— 00. 
Diesen Satz beweist Abel folgendermassen: 
Aus der Formel log (1 -f x) < x für positive 00 folgt: 
log(ci 0 + cii +... <x n —\ 4- ci n )—log{ao-f ... a n ~i)<C—. : : , 
«0T ß l ~r Q>2"T"*.. ein-1 
und hieraus erhält man , indem man der Reihe nach n = 1, 
2, 3 ... n setzt 
.Cli 
«2 
log (a 0 + ai + ... a n ) — loga 0 < 1 —h... 
cio eio ~l- cii clo 4' cii +... ci n —1 
Darnach divergiert die Reihe rechter Hand gleichzeitig 
mit der Reihe a 0 4- «1 4- . . . a n . 
Wäre nun cp(n) die verlangte Funktion, so würde 
1 
1 1 
4- 
+ . . 
cp(l) ' <p(2) ‘ ?(w) 
divergieren, denn in diesem Falle ist a n ■ 
und die Reihe 
4- . 
y( n y also <p(w)a» = l, 
1) Grelle Journ. Bd. 3. Oeuvres I, pag. 399. 
Reiff, Gesch. d. uncndl. Reihen. 
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