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III. Abschnitt. 
Dirichlet zu seinem, dem ersten strengen, Beweise der 
Fourier’ sehen Formeln benützte. 
Neben Fourier bat auch P o i s s o n sich mit den tri 
gonometrischen Reihen beschäftigt 1 ). Poisson geht aber 
von wesentlich anderen Gesichtspunkten aus , als F o u r i e r. 
Er betrachtet nämlich die trigonometrischen Reihen- als die 
Grenze folgender Reihe 
«o + ciiP cos x + ettp 2 cos 2x 4- .... 
+ p sin x + b 2 p 2 sin 2x . 
für p = 1 und sucht die Entwicklung in trigonometrische 
Reihen zu beweisen aus der Gleichung 
(l—p 2 )f(a) 
1—2p cos (x—a) + 
da 
2k 
1_ 
2k 
71 
/*+« 
J \^p n cosn 
(x—a) | fada, 
— 71 
welche Gleichung gilt, so lange |_p| < 1, in der man aber 
p so nahe an 1 annehmen kann, als man will. 
Um nun das Integral linker Hand auszuwerten, für Werte 
p, welche beliebig nahe an 1 sind, setzt er p — 1 — g und 
bemerkt, dass dann das Integralelement unendlich klein wird, 
ausser wenn x—a unendlich klein wird. Setzt man x—a = £ 
und für f(a) den Wert f(x), so geht für kleine z und g das 
Integral linker Hand über in 
und »da dasselbe unendlich klein ist wegen g für alle Werte 
z, welche nicht ebenfalls unendlich klein sind, so kann man, 
ohne einen Fehler zu begehen, die Integrationsgrenzen aus 
dehnen soweit man will von z — — oo bis z = + oo«, dies 
1) Journal de l’ecole pol. T. XI, 1820. T. XII, 1823.