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III. Abschnitt. 
= cp(x), 
womit die Konvergenz der Reihe erwiesen ist. An den Gren 
zen erhält man als Wert der Reihe 
i(?(—rc + e) + 9(71—e)). 
Die wesentliche Voraussetzung dieser Ableitung ist, dass 
cp zwischen — n . . -f tc nur eine endliche Anzahl von Maxima 
und Minima und ebenso nur eine endliche Anzahl von Un 
stetigkeitsstellen habe. 
In demselben Hefte des Crelle’sehen Journals, in dem 
Dirichlet’s berühmte Arbeit niedergelegt ist, findet sich 
auch eine Arbeit von Dircksen, welche auf ganz ähnlichen 
Grundlagen die Frage der trigonometrischen Reihen behandelt. 
An Klarheit und Schärfe der Beweisführung steht sie jedoch 
der D i ri chl e t 1 sehen Arbeit entschieden nach. 
Wir haben schon oben gesagt, dass mit der Diriclilet- 
schen Beweisführung die Theorie der trigonometrischen Reihen 
zu einem vorläufigen Abschluss gelangt ist. Unter den an 
gegebenen Voraussetzungen hat er die Frage nach ihrer Kon 
vergenz vollständig erledigt. Nur eine Frage blieb noch offen, 
die Frage nach der Art der Konvergenz an den Unstetigkeits 
stellen. Diese zu erledigen blieb anderen Vorbehalten. 
Wir können diesen Gegenstand nicht verlassen, ohne eine 
Anwendung der trigonometrischen Reihen erwähnt zu haben 
auf eine Frage, welche im vorigen Jahrhundert eine ganz be 
sondere Rolle spielte, die Theorie der allgemeinen Summen 
formeln. 
Wir haben ausführlich berichtet über die Aufstellung 
der Summenformeln. Wir haben gezeigt, dass Euler zuerst 
die Semikonvergenz der Summenformeln bemerkt hat ; wir 
bemerken hier, dass Legendre in seinen Exercices du cal- 
cid intégral (1811) von diesen von ihm »séries demiconver-