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III. Abschnitt. 
wo a eine positive Zahl bedeutet. Aus der Gleichung 
m yi A yi = A x+/(*) + A x+/(* +1 ) + - inin f- 
folgt 
Wenn nun f(x) kleiner und kleiner wird, so folgt 
Da für x = oo die rechte Seite zu Null Avird, wenn die 
Reihe A x konvergieren soll, so muss also die linke Seite noch 
mehr gleich Null werden und wenn die linke Seite nicht Null 
ist, so divergiert die Reihe. Dies ist der zweite Satz von 
K u m m e r. 
Kummer zeigt dann noch, dass die Funktion m y stets 
so gewählt werden kann, dass sie über die Divergenz und 
Konvergenz der Reihe entscheidet. Setzt man — x, so er 
hält man aus dem Kummer’schen Kriterium das Raabe’- 
sche. Weiter verwendet dann Kummer seine Kriterien zur 
Untersuchung derjenigen Reihen, für welche der Quotient 
zweier aufeinanderfolgender Glieder A y und A y _j_ ^ in eine 
Reihe nach absteigenden Potenzen von x entwickelt werden kann. 
Und zum Schlüsse zeigt er, dass das unendliche Produkt 
(1 + Ui) (1 4" ci 2 ). . . 
konvergiert, wenn die Reihe der a konvergiert. 
Die Kummer’sche Abhandlung ist deshalb von so grosser 
Wichtigkeit, weil sie wirklich allgemeine Gesichtspunkte in 
die Theorie der Konvergenz der Reihen gebracht hat, wäh 
rend man bisher sich nur mit der Ableitung spezieller Kri 
terien abgegeben hatte, doch hat zunächst vielleicht die grosse 
Allgemeinheit seiner Sätze es verhindert , dass dieselben zu 
einer systematischen Entwicklung schärferer Kriterien benützt 
wurden.