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III. Abschnitt. 
mond gezeigt, in seiner »neuen Theorie der Konvergenz und 
Divergenz von Reihen mit positiven Gliedern J )« , worin er 
die allgemeine Theorie der Konvergenzkriterien lieferte uncl 
zeigte, dass es ein Gebiet der Konvergenz gibt, an dessen 
Grenzen die logarithmischen Kriterien vollständig versagen. 
Wir schliessen diesen § mit jener überaus wichtigen Be 
merkung Dirichlet’s über die Abhängigkeit der Summe 
derjenigen Reihen, deren Summe der absoluten Werte diver 
giert, von der Anordnung der Glieder. 
In der Abhandlung: Beweis des Satzes, dass jede unbe 
grenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und 
Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Faktor sind, 
unendlich viele Primzahlen enthält 1 2 ), findet sich folgende Stelle: 
Betrachtet man statt jedes Gliedes seinen Zahlenwert, 
oder wenn es imaginär ist, seinen Modul, so können zivei 
Fälle eintreten. Es lässt sich nämlich entiveder eine endliche 
Grösse angeben, welche die Summe von irgend welchen und 
noch so vielen dieser Zahlenwerte oder Modiän stets übertrifft, 
oder diese Bedingung wird von keiner noch so grossen aber 
endlichen Zahl erfüllt. Im ersten Falle ist die Reihe immer 
konvergierend und hat eine völlig bestimmte Summe, welche 
von der Anordnung der Glieder ganz unabhängig ist, sei es 
nun, dass diese nur nach einer Dimension, sei es, dass sie 
nach zivei oder mehr Dimensionen fortschreiten und eine so 
genannte Doppel- oder vielfache Reihe bilden. Im zweiten 
der eben unterschiedenen Fälle kann zwar die Reihe auch 
noch konvergieren, aber diese Eigenschaft, sowie die Summe 
der Reihe, werden wesentlich durch die Art der Aufeinander 
folge der Glieder bedingt sein. Findet die Konvergenz für 
1) Crelle Journal Bd. 76. 
2) Abh. der Berl. Acad. 1837. pag. 45.