Eilftes Buch. 2z
nach Obigen □ AB = □ KN -f ONQ. Folglich ist
□ AB = □ QK, und daher AB = QK. Demnach sind die
Schenkel der gegebnen Winkel, und die drey Unten, welche den
körperlichen Winkel Q einschkiessen, alle einander gleich, Nun
ist auch AC = KL, DF = LM, Gl = MK. Folglich tst
(r, 8.@.) ABC =2 KQL, DEF =r LQM, GHI = MQK.
Zweyter Fall.
Es sey des
Cirkels Mittel
punkt, Kl, inner
halb des Trian
gels , KLM, .
Ziehe KN, LN,
MN, und mache
das übrige, wie
beymerstenFall:
so ist aus eben ß,
den Gründen bey
Q der verlangte körperliche Winkel, und also nur noch zu bewei
sen, daß auch hier AB > KN, oder daß AB weder eben so groß,
noch kleiner sey als KN. Denn
Ware AB — KN, so wäre auch BC = NL. Nun ist
auch AC — KL. Folglich wäre (r,8.0.) ABC =r KNL.
Eben so wird bewiesen, daß DEF — LNM, und GHI — MNK.
Demnach wären die drey gegebnen Winkel, welche zusammen
kleiner als vier rechte seyn müssen, so groß als die drey Winkel
bey N, welche doch zusammen vier rechten gleich sind.
Wäre AB < KN, so mache NO — AB, N? — BC, und
ziehe OP, so ist, weil AB — BC, auch NO—NP. Nun
ist NK — NL. Folglich ist OK — PL, folglich (6,2.®.)
LK, OP, parallel, und (6,4.®.) NK:NO = KLtOP.
Nun ist NK > NO, folglich ist (5,i^.S.) auch KL, das ist
AC, > OP. Demnach ist in den Triangeln ABC, ONP,
deren Schenkel gleich, die Basis aber AC > OP, (»,24.S.)
ABC > ONP. Eben so wird bewiesen, daß DEF >LNM,
und GHI > MNK. Demnach wären die drey gegebnen Winkel,
welche zusammen kleiner als vier rechte seyn müssen, grösser als
die drey Winkel bey N, welche doch zusammen vier rechten gleich sind.
B 5 Dritter