Zwölftes Buch. 41
Wäre nicht GBD : □ FH = girf.ABCD : ©rf.EFGH,
so sey □ BD : □ FH = C-rk. AB CD : Pv, so daß R entweder
größer, oder kleiner als der Crrk. RR 6BI.
Es si'y □ BD : □ FH — Cirk. AB CD : R, so daß
it < Cirk. EF GH, oder daß Crrk. EF GH = R -f X.
Beschreibe in den Cirk. EFGH, das Quadrat EG, welches
aus den beydenTriangeln, EFH, GFH, besteht, und (i, 4«.S.)
der Halite des Quadrats gleich ist, welches um den Cirkel be-
schrieben wird, indem man durch E, F, G, FI, Tangenten ziehet.
Nun ist das äussere Quadrat grösser als der Crrkel, folglich seine
Hä'fte, das ist, das innere Quadrat EG, grösser als die Halste
des Crrkels.
Halbire die Bogen, EF, FG, GH, HE, in den Punkten,
I, K, L, M, und ziehe die geraden Linien, EI, 1F, FK, KG, GL,
LH, HM, ME: so ist jeder der daher entstehenden Triangel,
wie aIFE, grösser als die Halste seines Segments, FIE.
Denn, wenn durch I eine Tangente gezogen, und das Parallelo
gramm, EF, vollendet wird, so ist dasselbe grösser, als das
Segment, FIE, folglich feine Hälfte, das ist, (l,4i.S.) der
AIFE, grösser als die Hälfte des Segments.
Da nun eben dieses von allen Triangeln gilt, welche entstehen,
wenn man mit den Halbirungen der Bogen fortfährt, folglich
auf diese Art vom Cirk. EFGH, mehr als die Hälfte wegge
nommen wrrd, und vom Neste mehr als die Hälfte, und imrner
so forc; so bleiben zuletzt Segmente, etwa El, IF, FK, u. s. w.
übrig, welche (io, i.0.) zusammen kleiner sind, als jede Grösse, X.
Nun war Cirk. EFGH=:R + X. Folglich ist das Polygon
EIF K G L.H M > R. Beschreibe