62 Euklids Elemente Zwölftes Buch. 
A 
B 
Mache eine Kugel GHi — X, concentrisch mit der Kugel 
VEF. Beschreibe in die Kugel OLF ein Polyedron, welches 
die Oberfläche der Kugel GPU, nicht berühre, und in der Kugel 
ABC, ein dem ersten änliches Polyedron: so ist (l2,i7.Zus.) 
(BC:EF) 3 — Polyedr. ABC : Polyedr. VEF. Nun war 
(VC : EF) 3 — Kugel ABC : Kugel GHi. Folglich ist Po 
lyedr. ABC : Polyedr. DEF — Kugel ABC : Kugel GHi. 
Nun ist offenbar Polyedr. ABC < Kugel ABC. Folglich ist 
(5,14.(3.) auch Polyedr. VEF < Kugel GHI, welches offen 
bar falsch ist. 
Demnach ist es unmöglich, daß (BC : EF) 3 — Kugel 
ABC : X, wenn X < Kugel VEF. Aus eben den Gründen 
aber ist es auch unmöglich, daß (EF : BC) 3 = Kug.VEF : Z, 
wenn Z < Kugel ABC. 
Zweyter Fall. 
Es sey (BC : EF) 3 — Kug. ABC : X, so daß X > Kug. 
VEF. Es sey aber X —Kugel KLM. Demnach ist auch 
(EF : BC) 3 — Kugel KLM: Kugel ABC. $hm sey Kugel 
KLM : Kugel ABC = Kugel VEF : Z, so daß, weil Kugel 
KLM > Kugel VEF, (5, 14. S.) auch Kugel ABC > Z. 
Folglich ist (EF : BC) 3 — Kugel VEF: Z, welches, weil 
Z< Kugel ABC, nach dem ersten Falle unmöglich.