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also auch 
BD . CD : AD* = CD* : AD . AF, und 
BD . CD + ÄD’:ÄD , ='CD , -f AD. AF : AD . AF... (a.) 
Nun ist aber im stumpfwinkligen A A C F 
Xc’ =If’ -f CF 1 + 2 . AF . FE 
= AF (AF -f 2 FE) -j- CD' 
= AF (AF + FD) + CD* 
= AF . AD + CD* — CD’ -f AD . AF, 
und daher durch Substitution dieses Werthes in (<*). 
Xd’ + BD . CD : Id’ = Xc' : AD . AF, oder 
XX)’ + BD . CD ; AD = Xc' : AF . . . . (ß). 
Aus den ähnlichen Dreyecken ABD und ACF folgt aber ferner 
AB:AD=AC:AF, 
also auch 
AB . AC : AD = XÖ' : AF 
und durch Vergleichung dieser Proportion mit (ß) erhalten wir endlich 
AB . AC ---XD' -f- BD . CD. 
Anderer Beweis. Es sey, wie vorhin, W. BAD = 
«= CAD; und man mache W. DBG = SB. D AC = SS3. BAD und 
verlängere AD bis zum Durchschnitte mit der BO im Punkte 6; so 
ist, weil A A CD c\? A B DG ist, 
AD : DC = BD : DG, daher AD . DG = BD . DC. 
Aus den ähnlichen Dreyecken ABG und ACD aber erhält man 
AB : AG = AD : AC, daher AB . AC = AG . AD. 
Durch Addition dieser beyden Gleichungen finden wir 
AB . AC + AD . DG = AG . AD -f BD . CD, 
also 
AB. AC = AG. AD - AD.DG + BD.CD 
= AD(AG — DG) + BD . CD 
= XD" -f BD . CD. 
7) Im A A B C (Fig. 76) sey der Winkel A durch die Gerade 
AD halbirt; so ist zu beweisen, daß 
ÄL>‘: AB. AC = (AB 4- AC 4- B C) (AB 4- AC — BC): (AB 4- AC)*.