Full text: Sammlung geometrischer Aufgaben und Lehrsätze aus der Planimetrie zur nützlichen Übung für Anfänger

und die Differenz der beyden Winkel an der Grundlinie sind gegeben; 
man soll das Dreyeck verzeichnen. 
A) Die Grundlinie eines Dreyecks, die Summe der beyden an 
dern Seiten und die Summe eines Winkels an der Basis und des hal 
ben Winkels an der Spitze sind gegeben; man soll das Dreyeck ver 
zeichnen. 
/*) Die Basis eines Dreyecks, ein Winkel an derselben und die 
Summe des andern Winkels an der Grundlinie und des halben Winkels 
an der Spitze sind gegeben; man soll das Dreyeck verzeichnen. 
§. 64. 
Lehrsatz. Theilt man zwey Seiten eines Dreyecks in propor 
tionale Theile, verbindet die Theilungspunkte mit den Scheiteln der 
gegenüberstehenden Winkel und zieht durch den Durchschnittspunkt die 
ser beyden Verbindungslinien und den Scheitel des dritten Winkels 
eine Gerade; so theilt diese die dritte Seite des Dreyecks in zwey 
gleiche Theile. 
Beweis. Die Seiten BC und AC des Dreyecks ABC 
(Fig. 9.) seyen in den Punkten v und E so getheilt, daß AE: EC = 
= BD : CD ist, ziehe die Geraden AD und BE, welche sich im 
Punkte 0 durchschneiden, und ziehe endlich durch die Punkte C und 
O die Gerade C F, welche die &eite AB in E trifft; so ist zu be 
weisen, daß AE = FB sey. 
Man verbinde die Punkte D und E durch die Gerade DE, so 
ist D E || A B; ferner ziehe man durch den Durchschnittspunkt O die 
Gerade GH JJ AB, so finden folgende Proportionen Statt: 
EG : GA = EO : BO 
DH : BH = EO : BO, also 
EG : GA = DH : BH, ferner 
AE : AG = BD : BH. 
ED : GO = AE : AG 
ED : HO = BD : BH, mithin 
ED : GO = ED : HO; folglich 
GO t= HO. 
GO : AF = CO : CF, und 
HO : BF = CO : CF, demnach 
AF = BF. 
Ferner ist
	        
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