Die Linienpaare im Kegelschnitt-Büschel. 485
eines Punktes eingesetzt denkt, durch welchen S 1 — kS 2 — 0
geht.
Sind ferner P, P' zwei doppelt conjugirte Pole, so wird
ihre Verbindungsgerade durch jeden Kegelschnitt des Büschels
in einem zu PP' harmonischen Punktepaar geschnitten.
Speciell der durch P gehende Kegelschnitt hat die Verbindungs
gerade mit P' als die ihn in P berührende Tangente, denn sie
ist eine der zu P gehörigen Polaren; ebenso berührt PP' den
durch P' gehenden Kegelschnitt in P'.
Umgekehrt liegen in jeder beliebigen Geraden zwei
doppelt conjugirte Pole P, P'. Denn ihre Schnittpunktepaare
mit den Curven S x = 0, S 2 — 0 besitzen ein gleichzeitig zu
beiden harmonisches Punktepaar P,P' (§ 15). Nach Definition
schneiden sich aber die Polaren von P bezüglich S x — 0 und
$ 2 = 0 in P', also auch alle anderen Polaren im Büschel.
Somit wird jede Gerade von zwei Kegelschnitten eines gegebenen
Büschels berührt und von den übrigen in zu den Berührungs
punkten harmonischen Punktepaaren geschnitten.
270. Linienpaare im Büschel. Es gibt drei Werte von k,
für welche S t — kS 2 — 0 ein Linienpaar darstellt, d. h. unter
den Kegelschnitten eines Büschels gibt es stets drei Linienpaare.
Denn die Bedingung, unter welcher dies stattfindet, wird
gefunden, indem man in D = 0 oder (§ 163)
^11^22^33 H - ^^23^31^12 ®11^23 2 ^22^31^ == ^
für a n , a 12 , etc. die Werte a n — kb n , a 12 — kb 12 , etc. ein
setzt. Das Resultat dieser Substitution ist offenbar in k vom
dritten Grade. Wenn also die Wurzeln dieser cubischen Glei
chung in k durch kj k", k"’ bezeichnet werden, so repräsentiren
S X -VS 2 = 0, S x - k"S 2 = 0, S x - k'"S 2 = 0
die drei Paare von Sehnen, welche zwischen den vier Schnitt
punkten beider Kegelschnitte S x — 0, S 2 = 0 gezogen werden
können (§ 230).
In dem vollständigen Viereck der Grundpunkte ist jedes
Gegenseitenpaar ein zerfallender Kegelschnitt des Büschels. Von
diesen Schnittsehnen ist stets ein Paar reell (§ 230), die beiden
andern können aus reellen oder conjugirt imaginären Geraden
28*
