438 XIY. Lineare Systeme von Kegelschnitten. 272. 
aasspringenden Winkeln oder mit einem einspringenden Winkel 
zulassen. Das hängt nur davon ab, ob die Producte 11' und 
pp gleiche oder verschiedene Vorzeichen haben. Im letzten 
Falle ist 11' pp negativ, also kann auch a n a 22 — k 2 für 
reelle k nicht positiv oder Null sein. Daher enthält ein 
Büschel, von dessen Grundpunkten einer im Dreieck der übrigen 
liegt, keine reellen Ellipsen oder Parabeln (§ 145). In der Tat 
mufs offenbar der einem solchen Viereck umgeschriebene 
Kegelschnitt eine Hyperbel sein, deren beiden Aesten ein 
und drei Punkte bez. angehören. 
Ist dagegen kl'pp > 0, so liefern die Parameterwerte 
k 2 < 11'pp' reelle Ellipsen und speciell k — + ]/(ll'pp') 
Parabeln. Einem convexen Viereck sind stets zwei reelle Para 
beln umgeschrieben. Dasselbe gilt auch für ein Viereck von 
zwei Paaren conjugirt imaginärer Punkte, da dann auf den 
reellen Schnittsehnen die Producte ll', pp wesentlich positiv 
sind. Aus demselben Grunde entspringt die Unterscheidung: 
Büschel mit zwei reellen Grundpunkten enthalten keine reellen 
Ellipsen und Parabeln, wenn jene durch den Träger der ima 
ginären Grundpunkte getrennt werden. 
B. 1) Der Ort der Centra der Kegelschnitte eines Büschels 
ist ein Kegelschnitt, welcher durch die Seitenmitten und die Diago 
nalpunkte des vollständigen Vierecks der Grundpunkte geht. (Neun- 
punktekegeischnitt des Vierecks.) 
Denn das Centrum des Kegelschnittes von der Gleichungs 
form des Textes ist gegeben durch 
a lx x -J- kg -f- a 13 = 0, kx -j- a 22 y a 23 = 0 
und durch Elimination von k entsteht der Ort 
a n x 2 — a 22 y 2 -f a i3 x — a 23 y = 0. 
Die Curve geht durch die Punkte 0 j 0, 0 | % (l -J- V), i (p -f- p) j 0, 
Schnittpunkt und Mitten eines Gegenseitenpaares, etc. Uebrigens 
ordnen sich offenbar die sechs Seitenmitten zu drei Parallelo 
grammen; diese haben daher das Centrum des Neunpunktekegel 
schnittes zum gemeinsamen Mittelpunkt. 
Der Ort ist eine Hyperbel, wenn ll' und pp gleiche Vor 
zeichen haben, die Grundpunkte ein einfaches convexes Viereck 
bilden; die beiden Asymptotenrichtungen a n x 2 — a 22 y 2 = 0 
geben also die Axcnrichtungen der Parabeln des Büschels. Im