Der Mittelpunkte-Kegelschnitt im Büschel.
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Falle eines Büschels aus lauter Hyperbeln ist der Ort ihrer
Mittelpunkte eine Ellipse.
2) Jedes Büschel enthält eine gleichseitige Hyperbel. Ihr
Parameter folgt aus a xl -j- a 22 = cos co (§ 179).
3) Durch vier Dünkte, deren jeder der Höhenschnittpunkt im
Dreieck der übrigen ist, gehen nur gleichseitige Hyperbeln.
Wir haben nach § 36, 7 nur rechtwinklige Coordinaten
und XX' = — yy anzunehmen. Wir können auch kürzer sagen:
Durch drei Punkte geht ein Büschel gleichseitiger Hyperbeln,
weil ein vierter mitbestimmt ist.
4) Der Ort der Centra aller gleichseitigen Hyperbeln, die
einem Dreieck umgeschrieben sind, ist der Feuerbachsche Kreis
desselben (§ 104, 3).
Die Gleichung des Ortes in l) gibt mit a n = a 22 einen
Kreis, der die Seiten und Eckenabstände des Höhenschnittpunktes
halbirt.
273. Die Gleichung des Kegelschnittbüschels kann ver
schiedenartig geschrieben werden, indem wir von irgend
zwei Kegelschnitten des Büschels aus den Parameter zählen.
Die Abhängigkeit unter diesen Darstellungen liefert der Satz:
Zwischen den Gleichungen von drei Kegelschnitten eines Büschels
besteht eine lineare Identität, d. h. sind S 1 = 0, S 2 = 0, S 3 — 0
drei solche, so lassen sich Constante it, h' so bestimmen,
dafs identisch ist
S x — k' S 2 = ti S 3 .
Sind die Coefficienten in S 1} S 2 , S 3 bez. a ik , b ik , c ik , so
gibt umgekehrt eine lineare Identität zwischen den Si sechs
Gleichungen zur Bestimmung von k und h, deren Verträglich
keit erfordert, dafs alle Determinanten, die aus je drei Reihen
der rechteckigen Matrix
¿hl ) ¿¿22 J ¿¿33) ¿¿231 ¿¿31) ¿¿12
^11) ^22) ^33) ^23) K, ^12
¿11) ¿22) ¿33) ¿23) ¿31) ¿12
gebildet werden können, verschwinden. Offenbar sind nur je
vier solche für die c ik linearen Bedingungen unter einander
unabhängig. Somit wird der Kegelschnitt S x — hS 2 — 0 auch
durch die Gleichung (Je — k) S x + h'kS 3 = 0 etc. repräsentirt.
Nun können wir statt der einen oder statt beider Ausgangs-
curven S x = 0, S 2 = 0 Linienpaare einführen. Sind etwa
