762 XXI. Von den reciproken Verwandtschaften. 418.
ein Vierseit auch direct auf den Satz des § 327, 4) gründen: 165 )
Die harmonisch conjugirten der Schnittpunkte einer Geraden L
mit den Diagonalen in Bezug auf die zugehörigen Ecken
liegen in einer Geraden L'. Dreht sich L um einen Punkt P,
so schneidet L' in den Diagonalen projectivische Punktreihen
aus, d. h. L' umhüllt einen dem Diagonaldreiseit eingeschrie
benen Kegelschnitt P, und umgekehrt. Dieser P entsprechende
Kegelschnitt P degenerirt nur, wenn P einer Diagonale an
gehört, nämlich in das Punktepaar, das aus dem zu P in der
Diagonale harmonisch conjugirten und dem gegenüberliegen
den Diagonalpunkt besteht.
Damit tritt deutlich hervor, dafs vier Strahlen von P
und die entsprechenden Tangenten von P dasselbe Doppel
verhältnis haben. Doppelverhältnisse in entsprechenden Gebilden
ersten und zweiten Grades einer quadratischen Transformation
haben gleichen Wert (vgl. § 415).
Die vorige Zuordnung ist aber identisch mit der Ver
wandtschaft der doppelt conjugirten Polaren in Bezug auf
die Schaar der dem Vierseit eingeschriebenen Kegelschnitte,
denn ihr analytischer Ausdruck ist ^¡tji — ^ k rjk und die Glei
chungen der Punktepaare der Schaar sind in £ x 2 = | 2 2 =
enthalten. Durch jeden Punkt P gehen also zwei doppelt
conjugirte Polaren, welche die Tangenten aus P an den ent
sprechenden Kegelschnitt P sind und in P von den durch diesen
Punkt gehenden beiden Curveu der Schaar berührt werden.
B. 1) Nimmt man als Definitionsgleichungen x 2 y l — XxVz — 0,
X x x x yi -f- X 2 x 2 y 2 -j- ir 3 7/ 3 = 0, wo das erste Polarsystem in die
Verbindungsstrahlen der Pole mit einem Hauptpunkt degenerirt,
so entsprechen den Geraden die Kegelschnitte
£3 0i*i 2 + *2*2 2 ) — h x 3 (£1*1 + = 0.
Bei Interpretation in rechtwinkligen Coordinaten (x 3 — y 3 = l)
besteht das Netz aus den durch den Nullpunkt gehenden homo-
thetischen Kegelschnitten. Je zwei Kegelschnitte schneiden sich im
Nullpunkt unter demselben Winkel, wie die entsprechenden Geraden.
Mit A x = 0 oder mit A x = A 2 erhält mau ein Netz von Parabeln oder
von Kreisen. Der letzte Fall ist derjenige der Inversion (§ 415).
2) Eine Anwendung der allgemeinen involutorischen Transfor
mation bietet die Figur zweier projectivischer Strahlbüschel in perspec-
