Verwandtschaft des Vierseits: Normalenproblem. 763 
tiyischer Lage (§ 94). So entspringt der Satz: Wenn zwei projec- 
tivische Büschel von Kegelschnitten S l -{- 7c S 2 = 0, U t -f- Je U 2 — 0 
(§ 334) durch dieselben drei Punkte ri, B, C gehen, so dafs der 
vierte Grundpunkt des einen D, der des andern E ist, und sie so 
liegen, dafs der durch die fünf Punkte A, B, C, Z>, E bestimmte 
Kegelschnitt sich selbst entspricht, so liegen die vierten Schnitt 
punkte der entsprechenden Kegelschnitte beider Büschel sämmtlich 
auf einem dem Dreieck A : P, C umgeschriebenen Kegelschnitt. 
Besonders bequem erlaubt diese Methode von Kegelschnitten 
zu Curven höherer Ordnungen überzugehen; so gibt die Erzeugung 
der Kegelschnitte durch projectivische Büschel eine Generation 
von Curven vierter Ordnung; etc. 
3) Wenn die Punkte c, c mit den unendlich fernen imagi 
nären Kreispunkten zusammenfallen, so bilden die dem Vierseit 
eingeschriebenen Kegelschnitte eine Schaar von confocalen Curven, 
für welche die associirten Punkte «, d und Z>, b' die reellen und 
imaginären Brennpunkte bezeichnen, während C das gemeinsame 
Centrum ist. Nach § 383 sind nun die entsprechenden Geraden 
X, 1j normal zu einander, und da sie die Segmente aa\ bb' 
zwischen den Brennpunkten harmonisch teilen, so sind sie Tangente 
und Normale von zwei confocalen Kegelschnitten in ihrem Schnitt 
punkt. Zugleich entspricht jedem Punkte p eine Parabel P, welche 
die Gei’aden ad, bb' berührt und die Gerade zur Directrix hat. 
Den Normalen, welche von p an einen Kegelschnitt S der 
confocalen Schaar gezogen werden können, entsprechen die Tan 
genten, welche der Kegelschnitt S mit dieser Parabel gemein hat. 
Wenn diese gemeinschaftlichen Tangenten construirt wären, so be 
stimmen ihre Berührungspunkte in S mit C die fraglichen Nor 
malen. Das Doppelverhältnis der vier Tangenten ist dem der vier 
Normalen gleich. 
Die Eufspunkte der Normalen sind die Schnittpunkte von S 
mit einem Kegelschnitt 7/, welcher die Polarcurve von P in Bezug 
auf C ist und daher, weil P dem zu S harmonischen Dreieck ABC 
eingeschrieben ist, demselben Dreieck ABC umgeschrieben sein 
mufs. Also ist er eine gleichseitige Hyperbel durch das Centrum 
von $, deren Asymptoten den Axen von 8 parallel sind. Um 
gekehrt bestimmt jede dem Dreieck ABC umgeschriebene gleich 
seitige Hyperbel in S vier Punkte, deren Normalen in einem 
Punkte p convergiren, wo p der Parabel P entspricht, welche die 
Polarcurve jener Hyperbel in Bezug auf S ist. 
Wenn nun den Tangenten von S die zugehörigen Normalen 
entsprechen, so entspricht der Curve S ihre Evolute (§ 264), eine 
Curve von der vierten Classe, welche durch diese Zuordnung 
mittelst der bekannten Curve S untersucht werden kann.