Yon den projectivischen Eigenschaften. 
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Punkten in einer Geraden (ABCD), da es durch das Doppel 
schnittverhältnis des projicirenden Büschels (O.ABCD) am 
Centrum der Projection gemessen wird, mit dem der vier 
Punkte (A'B'C'D') überein, in welchen dies Büschel durch 
eine beliebige Transversale geschnitten wird. Doppelverhält 
nisse werden durch Projection nicht geändert. (Vgl. Kap. V.) 
Aber Halbirungen werden zu harmonischen Gruppen, sym 
metrische Reihen oder Büschel zu involutorischen. 
Oder, wenn zwischen den durch eine beliebige Anzahl von 
Punkten in einer Geraden bestimmten Strecken eine Gleichung 
von der Form 
AB. CD. EF+h . AC. BE. DF+l.AD. CE. BF+ • • • = 0 
besteht, in welcher jedes Glied die nämlichen Punkte nur in 
verschiedener Ordnung enthält, so ist diese Relation projec- 
tivisch. Denn nach § 81 kann man für AB das Verhältnis 
OA . OB . sin AOB : OP und für die übrigen Strecken ent 
sprechende Ausdrücke substituiren, wodurch die Gleichung in 
allen Gliedern das Product OA . OB . OC. OD . OE . OE im 
Zähler und die Gröfse OP' 5 im Nenner enthält; durch Division 
mit diesen Factoren wird sie daher auf eine Relation zwischen 
den Sinus der am Punkte 0 gebildeten Winkel zurückgeführt. 
Auch ist leicht zu erkennen, dafs die Punkte A, B, C, 
D, E, F nicht in einer Geraden zu liegen brauchen, um diese 
Projectivität zu begründen; wenn die Senkrechte OP nicht 
für alle die in der Relation auftretenden Segmente die näm 
liche ist, so ist nur nötig, dafs dieselben so geordnet sind, 
dafs in jedem Gliede der Gleichung im Nenner das nämliche 
Product solcher zugehörigen Perpendikel OP . OP' . OP" ... 
auftritt. Als ein Beispiel dafür erwähnen wir den Satz: Wenn 
Gerade, welche von den Ecken eines Dreiecks ABC nach dem 
selben Punkte seiner Ebene gezogen werden, die Gegenseiten des 
selben in den Punkten a, h, c schneiden, so ist Ah . Bc .Ca gleich 
Ac.Ba.Cb. Weil diese Relation von der eben besprochenen 
Art ist, so reicht es hin, sie für irgend eine Projection des 
Dreiecks ABC zu beweisen; machen wir für dieselbe die 
Voraussetzung, dafs der Punkt C in unendlicher Entfernung