444 XIV. Lineare Systeme von Kegelschnitten. 276.
L 2 = 0 • x -f- 0 • y -f- k ist. Sie repräsentirt daher Kegel
schnitte, welche durch die Schnittpunkte von S — 0 mit
L — 0 und 0-x-\-0-y-\-k = 0 gehen. Diese Gleichungen
S — kL — 0 stimmen auch offenbar in den quadratischen
Gliedern alle überein (§ 145), definiren daher hei beliebigem
L alle Kegelschnitte mit parallelen Asymptoten (§ 242).
Somit bilden alle ähnlichen und ähnlich gelegenen Kegelschnitte
mit zwei festen Schnittpunkten im Endlichen ein Büschel, wie
z. B. das Kreisbüschel (§ 124). Dieses Büschel enthält im
allgemeinen keine Parabeln, denn zwei der Schnittsehnen
paare bestehen aus Parallelen (§ 215). Dagegen sind seine
Curven ausschließlich parallelaxige Parabeln, wenn S = 0
selbst eine Parabel ist.
Ferner ist auch die Gleichung S — k ein specieller Fall
der Gleichung S = 1?, nämlich S = k (0 - iC —}— 0 - z/ —c) 2 .
Sie bezeichnet daher (§ 275) einen Kegelschnitt, welcher mit
S — 0 eine doppelte Berührung hat, deren Berührungs
sehne unendlich fern ist. Der Pol derselben ist in jedem
der Kegelschnitte das Centrum (§ 157) und allen gemeinsam.
Daher bilden alle ähnlichen und coaxialen Kegelschnitte ein
Büschel mit Doppelberührung, wie z. B. das Büschel concen-
trischer Kreise. Da für Parabeln insbesondere die unendlich
ferne Gerade Tangente ist (§ 274), so bilden die Parabeln
S — k ein Osculationsbüschel (§ 244).
Endlich kann jede nicht-symbolische Gleichung selbst
als unter der Gleichungsform L 3 L 4 — kL 1 L 2 — 0 inbegriffen
angesehen werden. Denn im allgemeinen Ansatz
a n x 2 + 2a n xy + a 22 y 2 -f 2a n x + 2a 23 y -f a 33 == 0
liefert das erste Trinom, gleich Null gesetzt, ein Linienpaar
L 3 L i = 0 aus dem Nullpunkt uud das zweite Trinom eine
durch die unendlich ferne Gerade L 2 = 0 zu einem Paar er
gänzte Gerade L x = 0. Die Asymptotenparallelen L. d = 0
L± = 0 treffen die Curve in zwei endlichen Schnittpunkten
von der Sehne == 0.
Speciell zeigt die allgemeine Gleichung der Parabel
(ccx + ßy) 2 + (2a u x + 2a n y + a 33 ) = 0 (§ 211),
