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Kegelschnitte in Doppelberiihrung mit einem gegebenen. 447 
Dies ist der specielle Fall von dem Satze des Textes, in 
welchem die Kegelschnitte S -f- L x = 0, S -f- L 2 2 = 0 sich auf 
je ein Linienpaar reduciren. Der Beweis kann aber für diesen 
Fall auch direct geführt werden wie folgt: Sind T x — 0, T 2 = 0; 
T 3 = 0, T 4 == 0 die Gleichungen von zwei Tangentenpaaren und 
L x =0, L 2 — 0 die ihrer Berührungssehnen, d. h. der Diago 
nalen des entsprechenden eingeschriebenen Vierecks, so kann 
man die Gleichung des Kegelschnittes in jeder der Formen 
T x T 2 — L x = 0, T 3 1\ — L 2 — 0 schreiben. Daher sind 
diese identisch oder nur um einen constanten Factor verschieden, 
d. h. es entspringt die Identität T X T 2 — IT 3 T x = L x — lL 2 . In 
dieser drückt die rechte Seite durch ihr Verschwinden ein Linienpaar 
aus, das mit L x — 0, L 2 — 0 ein harmonisches Büschel bildet, 
während die linke Seite zeigt, dafs diese Geraden die Punkte verbinden 
T x = T 3 — 0, T 2 = T i = 0 und T 1 = T i = 0, T 2 = T 3 = 0. 
4) Man stelle die Gleichungen der Diagonalen des Vierecks 
auf, welches von den Tangenten eines Centralkegelschnittes in 
den vier Punkten gebildet wird, denen die excentrischen Winkel 
2<*, 2j3, 2y, 26 entsprechen. 
In diesem Falle ist (§ 173) 
- cos 2 a y sin 2 cc — 1, T 2 = — cos 2 ß -j- ^ sin 2 /3 — 1; 
T, 
w. 
& ’ a a r 1 b 
L = f C0S + ß) + f sin ( a + ß) — cos ( a “ ß) ^ 
und man findet leicht 
T,l\ -I?=- sin 2 (« - ß) {£ + ^ - l), u. s. 
Nach den Ergebnissen von 3) findet man für die Diagonalen 
L x sin (y — ö) = + L 2 sin (a — ß). 
279. Wenn drei Kegelschnitte in doppelter Berührung mit 
einem vierten Kegelschnitt sind, so gehen die Schnittsehnen der 
drei Paare, welche sich auf einer Berührungssehne schneiden, 
viermal zu je dreien durch einen Punkt. 
Denn, sind die Gleichungen der Kegelschnitte von der Form 
S + V = 0, S + L 2 2 = 0, S + L 3 2 = 0, 
so sind die ihrer Schnittsehnen, zu dreien geordnet, 
L x — L 2 = 0, 
Lx + L 2 = 0, 
L x -j- L 2 = 0, 
L 2 L 3 
l 2 + l 3 
L 3 — L x — 0; 
L 3 -L x = 0; 
— L 3 = 0, L 3 -f L x = 0; 
L x — L 2 = 0, L 2 -j- L 3 = 0, L 3 -j- L x = 0.