452 XIV. Lineare Systeme von Kegelschnitten. 282. 
schnitt 2 = 0 liegt oder die Verbindungsgerade von beiden 
denselben berührt (§ 274). 
Die Kegelschnitte 2 = 0 und 2 — *A 2 = 0 berühren 
einander doppelt, so dafs A = 0 den Schnittpunkt -der ge 
meinsamen Tangenten, den Berührungspol bezeichnet. Während 
im allgemeinen zwei Kegelschnitte ein Büschel und eine 
Schaar als ganz verschiedene Systeme bestimmen, lüden 
doppeltberührende Kegelschnitte gleichzeitig ein Büschel und eine 
Schaar. Sind insbesondere A 1 = 0, A 2 = 0 die Berührungs- 
pnnkte, A 1 A 2 = 0 also ein zerfallender Kegelschnitt der 
Schaar, so läfst sich diese auch in der Gleichungsform dar 
stellen 
A X A 2 — nA 2 — 0. 
Ferner liefert § 279 den Satz: Wenn drei Kegelschnitte in 
doppelter Berührung mit einem vierten sind, so liegen die 
Schnittpunkte der gemeinsamen Tangentenpaare viermal zu 
dreien in einer Geraden. Man erkennt schon, dafs dies auf 
einen zum Brianchon’schen dualen Satz führen mufs, den wir 
in § 284 auf anderem Wege entwickeln. 
Namentlich aber ist die ganze Polarentheorie dualistisch 
übertragbar. Denn nach der Definition des Teilverhältnisses 
in einer Punktreihe £ — 1% | rj — lg in § 77 gibt die Ein 
setzung dieser Coordinaten in eine Gleichung zweiten Grades 
2—0, und die Bedingung, dafs der Coefficient von A in 
dem Substitutionsresultat verschwinde, die Relation (§ 157) 
£ + A 12 (%g -f- g'£) -j- A 22 gg + A 13 (£ + I) 
+ A 23 (?] + g) + A 33 = 0. 
Ersetzen wir also A n etc. durch A n — xA n ' etc., so sehen 
wir: Die Pole einer Geraden in Bezug auf die Kegelschnitte 
einer Schaar bilden eine gerade Punktreihe. Die einander so 
zugeordneten Geraden heifsen doppelt conjugirte Polaren. Es 
ist nur ein Specialfall davon: Der Ort der Centra der einem 
Vier seit eingeschriebenen Kegelschnitte ist eine Gerade; nach 
§ 163 sind die Coordinaten der Centra 
4-13 x -4-i3 4-23 xA 23 . 
A33 w4 s3 4g 3 K.4.33