Die linearen Kegelschnittsysteme.
453
Weil die drei Gegeneckenpaare des Grund vierseits Kegel
schnitte der Schaar sind, welche die Mitten der von ihnen
begrenzten Strecken zu Mittelpunkten haben, so geht die
Mittelpunktsgerade durch diese.
283. Lineare Kegelschnittsysteme. Die symbolische
Bezeichnung führt über die Betrachtung des durch zwei
Kegelschnitte bestimmten Systems (Büschel und Schaar)
hinaus. Besteht zwischen den Gleichungen von drei Kegel
schnitten in Punktcoordinaten S 1 = 0, S 2 = 0, S 3 = 0 keine
identische, lineare Relation (§ 273), so heifsen dieselben linear
unabhängig. Bezeichnen ferner A = Tc 2 : Tc lf g = k 3 : \ zwei
durchaus willkürliche Parameter, so bilden die Kegelschnitte,
deren Gleichungen in der Form
h l S 1 h 2 S 2 h 3 S 3 = 0
enthalten sind, ein System, welches wir nach Analogie von
§ 128 ein Kegelschnittnetz nennen. Unter den Kegelschnitten
eines solchen Netzes befinden sich noch unendlich viele,
welche durch einen gegebenen Punkt gehen und zwar bilden
dieselben ein Büschel. Denn durch Einsetzung der Coordinaten
des Punktes gewinnen wir eine Gleichung, welche h 3 : \ linear
durch h 2 : h 1 auszudrücken gestattet, dürfen also nur noch
einen linearen Parameter als willkürlich betrachten (§ 268).
Da das Netz unendlich viele Büschel enthält, sagt man,
es umfasse zweifach unendlich viele Curven oder das Netz
ist ein lineares Kegelschnütsystem zweiter Stufe, das Büschel
ein solches erster Stufe. Die Kegelschnitte des Netzes hängen
statt von fünf nur von zwei willkürlichen Constanten ab;
also müssen die fünf Constanten eines jeden drei linearen,
unabhängigen Bedingungen genügen, wie aus der Algebra der
linearen Gleichungen bekannt ist. Man kann das drei ge
gebenen linearen Bedingungen genügende Netz dadurch bilden,
dafs man drei Coefficientengruppen a ik , b iJc , c ik bestimmt,
welche denselben genügen, denn dann befriedigen auch
\a a + + \c ik dieselben. Somit bilden alle durch
drei Punkte gehenden Kegelschnitte ein Netz, aber dies
sind nicht mehr allgemeine Netze, da drei beliebig gewählte
