Mac Laurin’s Erzeugung der Kegelschnitte. 459
seiten liegen auf der Polare oder der Harmonicale o (§ 64, l)
von jenem.
B. l) Aus fünf Punkten eines Kegelschnittes sein Centrum
zu bestimmen.
Man ziehe 1 6 parallel zu 3 4 und bestimme den auf ihr
gelegenen Punkt 6 des Kegelschnittes; dann sind 3 4 und 16
zwei parallele Sehnen, und die Verb indungsgerade ihrer Mittel
punkte ist ein Durchmesser. Indem man ebenso auf 5 6' parallel
2 3 den Punkt 6' des Kegelschnittes bestimmt, findet man einen
zweiten Durchmesser und damit das Centrum.
2) Man construire die Hyperbel aus den Asymptotenrich
tungen 1, 2 und drei Punkten 3, 4, 5.
3) Man construire sie aus den Asymptoten und einem
Punkte, insbesondere die Tangente in diesem.
4) Man construire die Parabel aus der Axenrichtung und
drei Punkten.
5) Generationsmethode Mac Laurin’s: Man bestimme den
Ort der Spitze eines Dreiecks, dessen Seiten bez. durch drei
feste Punkte gehen, während die Basisecken sich in zwei festen
Geraden bewegen.
Sind L = 0, M — 0, N — 0 die Gleichungen der Seiten
des von den drei festen Punkten gebildeten Dreiecks, so können
nach § 60 die festen Geraden g, g' in der Form
IL -f mM -f «A= 0, l'L + m'M + n'N = 0
ausgedrückt werden; und ist dann L — gM die Basis, so ist die
Gerade, welche den Punkt M — 0, N = 0 mit dem Schnitt
punkt der Basis mit g verbindet, durch (lg -f- m) M -f- nN — 0,
dargestellt und die Gerade, welche den Punkt L — 0, N — 0
mit dem Schnittpunkt der Basis mit g' verbindet, durch
(1'(i -|- m) L -f- n' gN = 0. Die Elimination von g zwischen
den beiden letzten Gleichungen gibt die Gleichung des gesuchten
Ortes in der Form
Im'LM = (mM -f- nN) (l'L -f- n N),
d. h. derselbe ist ein Kegelschnitt, welcher durch die vier Punkte
M = 0, N = 0; N = 0, L = 0; L =0, IL + mM -f nN= 0;
M — 0, VL 4- m M -f- n'N — 0 hindurchgeht.
287. Die vollständige Figur des Pascal’schen Sechsecks.
Wie im Falle des Satzes von Brianchon können wir eine
Anzahl von 60 verschiedenen Pascal’schen Sechsecken aus
den nämlichen sechs Punkten erhalten, wenn wir die Ordnung
