Full text: Analytische Geometrie der Kegelschnitte mit besonderer Berücksichtigung der neueren Methoden (Teil 2)

Eigenschaften aus der Doppelverhältnisgleichheit. 479 
eine Relation von der Form am 1 m 2 + bm 1 -f- cm 2 -j- d = 0 
stattfinden, wo die Coefficienten a, b, c, d etwa durch drei Paare 
homologer Punkte zu bestimmen sind. 
Wenn wir aus den für den Punkt x\y der ersten oder 
zweiten Reihe gleichzeitig geltenden Gleichungen 
-J- x\y -f- 1 = 0, ii» + ViV + 1 = 0, m 1 x — y = 0, 
bez. %x -J- tjy + 1 = 0, % 2 x -f- y s y + 1 = 0,. m 2 x — y — 0 
die Coordinaten #, y eliminiren, so erhalten wir Bestimmungs 
gleichungen für m 1 , m 2 , aus denen folgen 
% = (I — Si) : (% — *?)> m 2 = (I ~ W : (% — ^)- 
Die Einsetzung dieser Werte in die Gleichung der Projectivität gibt 
«(£— £i)'(£—li)(%— »?)+<£—SaK«?i— 1 '»?)= 0 > 
«l 2 +*i 2 — ( & + c )^— {«(ii+O - % - c ^i} ^— {^(^1+^2)—— c ^2} ^ 
+ «Ulfe “ — C l2% + V2 = 0. 
Die Enveloppe ist ein Kegelschnitt, der die festen Geraden be 
rührt, weil § === § l5 7] = 7j 1 und 'i — § 2 , rj = v} 2 der Gleichung 
genügen; insbesondere eine Parabel, wenn man hat 
£1(^2 ^ i ?2) == Vl(p^2 dife). 
Mit a = d = 1, b — — c geht diese Gleichung über in 
£ 2 + *? 2 — {Ii + £2 — & (% — %)} £ — {%+% — 6(Si — y} 
+ £1^2 + V1V2 — K&’fe — §2^1) = °5 
d. h. für gleiche Büschel von gleichem Drehungssinn wird der 
Anfangspunkt zum Brennpunkt (§ 204, l). 
296. Beispiele. Aus den Eigenschaften vom Doppel 
verhältnis von vier Punkten und von vier Tangenten eines 
Kegelschnittes gehen zahlreiche Sätze hervor. 81 ) Denn von 
den vier Punkten der Curve können wir einen oder zwei 
im Unendlichen denken 5 der Scheitel des Büschels kann selbst 
unendlich entfernt sein; er kann mit einem der vier Punkte 
zusammenfallen, so dafs einer der Strahlen zur Tangente des 
Kegelschnittes in diesem Punkte wird; endlich kann aber 
das Doppelverhältnis des Büschels auf einer beliebigen Ge 
raden gemessen, diese kann insbesondere parallel zu einem 
der Strahlen des Büschels gewählt werden, so dafs das
	        
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