Eigenschaften aus der Doppelverhältnisgleichheit. 479
eine Relation von der Form am 1 m 2 + bm 1 -f- cm 2 -j- d = 0
stattfinden, wo die Coefficienten a, b, c, d etwa durch drei Paare
homologer Punkte zu bestimmen sind.
Wenn wir aus den für den Punkt x\y der ersten oder
zweiten Reihe gleichzeitig geltenden Gleichungen
-J- x\y -f- 1 = 0, ii» + ViV + 1 = 0, m 1 x — y = 0,
bez. %x -J- tjy + 1 = 0, % 2 x -f- y s y + 1 = 0,. m 2 x — y — 0
die Coordinaten #, y eliminiren, so erhalten wir Bestimmungs
gleichungen für m 1 , m 2 , aus denen folgen
% = (I — Si) : (% — *?)> m 2 = (I ~ W : (% — ^)-
Die Einsetzung dieser Werte in die Gleichung der Projectivität gibt
«(£— £i)'(£—li)(%— »?)+<£—SaK«?i— 1 '»?)= 0 >
«l 2 +*i 2 — ( & + c )^— {«(ii+O - % - c ^i} ^— {^(^1+^2)—— c ^2} ^
+ «Ulfe “ — C l2% + V2 = 0.
Die Enveloppe ist ein Kegelschnitt, der die festen Geraden be
rührt, weil § === § l5 7] = 7j 1 und 'i — § 2 , rj = v} 2 der Gleichung
genügen; insbesondere eine Parabel, wenn man hat
£1(^2 ^ i ?2) == Vl(p^2 dife).
Mit a = d = 1, b — — c geht diese Gleichung über in
£ 2 + *? 2 — {Ii + £2 — & (% — %)} £ — {%+% — 6(Si — y}
+ £1^2 + V1V2 — K&’fe — §2^1) = °5
d. h. für gleiche Büschel von gleichem Drehungssinn wird der
Anfangspunkt zum Brennpunkt (§ 204, l).
296. Beispiele. Aus den Eigenschaften vom Doppel
verhältnis von vier Punkten und von vier Tangenten eines
Kegelschnittes gehen zahlreiche Sätze hervor. 81 ) Denn von
den vier Punkten der Curve können wir einen oder zwei
im Unendlichen denken 5 der Scheitel des Büschels kann selbst
unendlich entfernt sein; er kann mit einem der vier Punkte
zusammenfallen, so dafs einer der Strahlen zur Tangente des
Kegelschnittes in diesem Punkte wird; endlich kann aber
das Doppelverhältnis des Büschels auf einer beliebigen Ge
raden gemessen, diese kann insbesondere parallel zu einem
der Strahlen des Büschels gewählt werden, so dafs das