Constructionen mittels der Involutionen. 489 
Dasselbe gilt von der Involution conjugirter Richtungen, bez. 
Durchmesser der Parabel. Auf Parabeldurchmessern und 
Asymptotenparallelen sind die involutorischen Polreihen spe- 
ciell symmetrisch (§ 96). 
Offenbar treten damit die Paare conjugirt imaginärer 
Punkte und Tangenten des Kegelschnittes in die Reihe der 
(Paare von) linearen Bedingungen, aus denen derselbe con- 
struirt werden kann. B. 6 f.). Wir denken die Involutionen 
elliptisch, weil man sonst durch Ermittelung ihrer Doppel 
elemente auf die Construction aus fünf reellen Punkten oder 
Tangenten zurückkommt. 
B. l) Wenn man von jedem Punkt einer Geraden aus die 
beiden Tangenten an einen Kegelschnitt zieht, so begegnen diese 
irgend einer festen Tangente je in zwei Punkten, die eine In 
volution bilden, deren Paare den Punkten jener Geraden nach 
gleichem Doppelverhältnis entsprechen (§ 94). Die in den Schnitt 
punkten der gegebenen Geraden mit dem Kegelschnitt an diesen 
gezogenen Tangenten bestimmen in der festen Tangente die 
Doppelpunkte dieser Involution. Insbesondere bestimmen die 
Paare der parallelen Tangenten in einer festen Tangente eine 
involutorische Reihe, die in den Asymptoten ihre Doppelpunkte hat. 
2) Wenn man von einem festen Punkt aus Tranversalen 
nach einem gegebenen Kegelschnitt und von einem beliebigen 
Punkt des Kegelschnitts aus nach den Endpunkten der bezüg 
lichen Sehnen die Geraden zieht, so bilden diese ein Büschel 
involutorischer Paare und entsprechen dem Büschel der Trans 
versalen projectivisch. Die Doppelstrahlen gehen nach den 
Berührungspunkten der von jenem Punkte aus an den Kegel 
schnitt möglichen Tangenten. Wenn umgekehrt die Schenkel von 
Winkeln aus einem Punkt eines Kegelschnittes Paare einer In 
volution sind, so gehen die von ihnen bestimmten Sehnen durch 
einen Punkt; also insbesondere die von rechten Winkeln, die von 
solchen, deren Schenkel gegen eine feste Gerade gleich geneigt 
sind, und allgemein die von solchen Schenkeln, für die die trigo 
nometrischen Tangenten ihrer Winkel gegen eine feste Gerade 
constantes Product haben. 
3) Wenn man durch einen Punkt des Kegelschnittes Strahlen 
nach den Enden von zwei Sehnen desselben zieht, so bilden sie 
mit der Tangente desselben und dem nach dem Schnittpunkt der 
Sehnen gehenden Strahl drei Paare in Involution. 
4) Die conjugirten Strahlen eines harmonischen Viererbüschels 
aus einem Punkt des Kegelschnittes schneiden ihn in Punkten,