492 XV. Projectivische Eigenschaften der Kegelschnitte. 300. 
AÄ, PP', sie schneiden sich in einem Punkt P, durch welchen 
die Sehnen aller Paare der Involution gehen. Das rechtwinklige 
Paar hat seine Enden in dem durch P gehenden Durchmesser; 
das Paar der Doppelstrahlen geht nach den Berührungspunkten 
der Tangenten, die man von P aus an den Kreis ziehen kann. 
Es ist offenbar, dafs man durch dieselbe Construction die Doppel 
punkte einer involutorischen Reihe bestimmen kann. 
2) Direct construirt man diese Doppelpunkte einer involu 
torischen Reihe auf Grund des dualistisch entsprechenden Satzes: 
An einen die Reihe berührenden Kreis zieht man von den ge 
gebenen Paaren A, A'\ P, B' die Tangenten und verbindet ihre 
Schnittpunkte durch eine Gerade p. Die Tangenten des Kreises 
in den Punkten der letzteren gehen nach den Doppelpunkten. 
3) Derselbe erste Satz löst auch die Aufgabe, das gemeinsame 
Paar von zwei vereinigten involutorischen Büscheln, und der dua 
listische zweite die Aufgabe, das gemeinsame Paar von zwei ver 
einigten involutorischen Reihen zu bestimmen. Die Aufgaben der 
Bestimmung eines Paares der Involution von Strahlen, welches recht 
winklig ist, oder einen gegebenen Winkel, ein gegebenes Segment har 
monisch teilt, die Bestimmung eines zu zwei Paaren von Elemen 
ten zugleich harmonischen Paares, etc. sind besondere Fälle dieses 
Problems. Das gemeinsame Paar ist stets reell, so lange nicht die 
Doppelelemente beider Involutionen reell sind und sich trennen. 
5) Zwei imaginäre Gerade in derselben Ebene sind durch 
ihre reellen Punkte T.\ T* und ihre symmetrisch harmonischen 
Darstellungen {aba'} und [a*b*a*'} an denselben gegeben; man 
bestimme ihren Schnittpunkt. Man lege durch die reellen Scheitel 
P, P* einen Hilfskreis, der die Strahlen a, b etc. in A, P, . . . 
schneidet. Um nun die Involutionen {aba } etc. mit Beibehaltung 
ihres Bewegungssinnes von dem gemeinsamen Strahl TT* aus 
harmonisch darzustellen und dann nach § 96 als ihren perspec- 
tivischen Durchschnitt die harmonische Darstellung des gesuchten 
Schnittpunktes zu erhalten, sind folgende Schritte zu thun; für 
die Involution um P: Man bestimme ihren Pol P im Hilfskreis 
auf dem Durchmesser von P und in der Geraden AA' } daraus 
den zu T* entsprechenden Punkt P*' und den vierten harmonischen 
zu P in Bezug auf P*' P*, sowie dessen durch P gehende und 
den Kreis in U, U' schneidende Polare. Sind daun £*, £*', w, u 
die Strahlen aus P nach T* P*', U, U' und liegen u, t*\ u und t* 
im Sinne von aba', so bilden sie die harmonische Darstellung 
der ersten imaginären Geraden von t* aus. Ebenso erhält man 
die der zweiten und die ihres Schnittpunktes. 
5) Zwei imaginäre Punkte sind durch ihre reellen Geraden 
t, l* und ihre symmetrisch harmonischen Darstellungen in den