Zweites Kapitel.
Der Gleichem gsbegriff und die Gerade.
18. Eine Gleichung zwischen den Coordinaten definirt
einen geometrischen Ort. Wenn die auf gegebene Axen
bezogenen Coordinaten x\y unabhängig von einander beliebige
Werte x — a, y = b annehmen, so entspricht der Gesammt-
lieit der Wertepaare der beiden unabhängigen Veränder
lichen (Variabein) die Gesammtheit der Punkte der Ebene
und nach unsern Festsetzungen (§ 16) auch umgekehrt. Eine
Abhängigkeit zwischen diesen Variabein wird ausgedrückt,
wenn eine Gleichung
f(x, y) = 0
von ihnen erfüllt sein soll. Wir setzen die Function f(x, y)
stetig und auf die Form einer ganzen rationalen Function ge
bracht voraus. Jede der Variabein wird durch das Bestehen
dieser Gleichung eine stetige Function der andern.
Eine solche Gleichung reicht nicht hin, zwei Unbekannte
x\y zu bestimmen; vielmehr genügt immer noch eine unbe
grenzte Anzahl von Wertepaaren x\y der Gleichung. Aus
den sämmtlichen Punkten der Ebene wird also eine Ver
einigung von unendlich vielen Punkten ausgeschieden, deren
Coordinaten durch die Gleichung f (x, y) = 0 verbunden
sind*). Fiese Vereinigung haben wir als die geometrische
*) Die Gesammtheit der Werte von n Variabein heilst eine
n- dimensionale Mannigfaltigkeit; daher heilst die Gesammtheit der
Punkte der Ebene ein Gebilde von zwei Dimensionen oder zweiter
Stufe, die Punkte von deren Coordinaten nur eine unabhängig ver
änderlich ist, ein Gebilde von einer Dimension oder erster Stufe.