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lieh cos u — cos cc • cos a i -J- cos ß ■ cos ß i -f- cos y • cos jq. Daraus 
folgt 1 — cos u — 1 — cos cc • cos cq — cos ß • cos ß x — cos y • cos y 1 , folg 
lich, wenn man Leide Seiten mit 2 multiplicirt und statt der 2 auf 
der rechten Seite die äquivalente Summe 
(cos 2 cc -f- cos 2 ß -f- cos 2 y) -{- (cos 2 oq -f- cos2 ßi + cos 2 Ti) 
schreibt; 2 (1 — cos u) oder 
4 sin 2 — = (cos cq — cos cc) 2 -f- (cos ßy — cos ß) 2 -}- (cos jq — cos y) 2 . 
Sind nun die Linien, von denen gesprochen wird, zwei auf ein 
ander folgende Linien in irgend einem Systeme, so wird fu unend 
lich klein, folglich 4 sin 2 ~ — n 2 und die Differenzen 
cos cq — cos cc, cos ßy — cos ß, cos jq — cos y 
werden resp. d • cos cc, d • cos ß, d ■ cos y: unsere Formel geht also 
über in u 2 = (d • cos a) 2 -f- (cl • cos ß) 2 -}- (d • cos y) 2 . Ist endlich <^m 
der Contingenzwinkel w, so sind cc ß y die Winkel der Tangente 
mit den drei Axeu, d. h. cos cc = x cos ß = y cos y — z , und wir 
haben w 2 
(dx) 2 -f- (dy) 2 -f- {dz) 2 , mithin wird endlich ~ oder 
f x" 2 -)- y" 2 -f- z" 2 
15. 
Eine andre Bedeutung, wahrscheinlich die einfachste, und durch 
die man zugleich die Grösse des Krümmungsradius, seine Richtung 
und die Coordinateli des Krümmungsmittelpunktes findet, ist folgende: 
sag. 4. Man denke sich drei 
Punkte im Raume 13, A, 
zt ^ c - O, Fig. 4, deren Coordi 
nateli resp. sind x y z, 
x i Vi *i, «2 Vi *r Man 
lege durch sie eine Ebene 
und vervollständige das Parallellogramm, dessen vierte Ecke B' die 
Coordinateli x 3 y 3 z 3 habe. Alsdann sind die Coordinateli des Mittel 
punktes f einerseits (weil Bf = fC): 
X ~Y~~ Z ~at Zì ) un ^ andrerseits (weil Af « 
«ä + ^3 Vi + Vt ¿i + g 3 . 
2 2 2 5 
fB’) 
es müssen folglich die Gleichungen bestehen 
x$ == x Xy —j— x 3 «/3 = 2/ — «/1 +2/2 * 8 = *■ 
Zy -{- z r 
2*