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NOTE SUR DEUX FORMULES DONNÉES PAR 
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par les substitutions 
x \ — A x X 1 + A 2 X 2 , y 1 = flj y x + fi t y-2 , Z\ = V\ -S'i + V-2 Z 2 , 
x 2 — A* x i 4" A 2 x 2 , y2 — /¿i 3/1 "b /^2 3/2 ) ^2 = V\ z x -f- 2o j 
et soit w', la fonction analogue à u, des nouveaux coefficients a', b', c', ... /*/: alors 
v! = (Ai A.' — A.> Ax') 2 (/¿x rji — fio /Mi') 2 (v x vi — v 2 v x ) 2 . u. 
En échangeant seulement les z, ceci donne 
u = (v x vi — v 2 vi) 2 . u, 
ou ai — v x a A vie, b' = v x b + vif c' = v x c + vig, d = v x d + vih, 
e! — v 2 a + vie, f' = v 2 b + vif g' = v 2 c + vig, h' = v 2 d + vih. 
Soit v 1 =ah-bg - cf-de, 
vi = - 2 (ad — bc), 
v 2 =-2 (eh -fg), 
vi = ah — bg — cf— de (= vi), 
on trouve d’abord 
(v x i>i — v 2 vi) = u 2 , ou u' = u 3 , 
et puis, en ayant égard aux valeurs de A, B, C, ... H : 
a'=H, b' = — G, c' = - F, d = E, 
e'=D, f' = -B, g' — —G, h'=A, 
de manière que u' = TJ.\ d’où enfin 
U = u 3 . 
La propriété de la fonction u que je viens d’énoncer, se rapporte à une théorie 
assez générale, d’une nouvelle espèce de fonctions algébriques dont je m’occupe actuelle 
ment, et lesquelles à cause de leur analogie avec les déterminantes, on pourrait comme 
je crois nommer “ Hyperdéterminantes.” Je me propose de poser les premiers fondemens 
de cette théorie dans un mémoire qui va paraître dans le prochain N0. du Cambridge 
Mathematical Journal (N0. xxm.) [13]. 
A présent je passe à une formule de Mr. Hesse [Journal, t. xxvm. (1844), p. 88], 
qui se rapporte aussi à la même théorie. Soit V, une fonction homogène du troisième 
ordre, et à trois variables x, y, z. Soit V U, la déterminante formée avec les coefficients 
du second ordre de V, arrangés en cette forme : 
dV 
d 2 V 
dV 
dx 2 ’ 
dxdy ’ 
dxdz ’ 
d 2 V 
d 2 V 
d-v 
dxdy ’ 
dy 2 ’ 
dydz ’ 
d 2 V 
d 2 V 
d 2 V 
dzdx ’ 
dzdy ’ 
dz 2 ’