116 NOTE SUR DEUX FORMULES DONNEES PAR M. M. EISENSTEIN ET HESSE. [15 
L’on parviendrait, je crois, à des résultats plus simples en considérant une fonction 
U, homogène en x, y, et aussi en x ly y ly et en posant 
V/7= æV d2V — 
dxdxi ' dydy 1 dxdy 1 ' dydx l ' 
Par exemple, si U est du second ordre en x, y et aussi en x ly y ly de manière que 
U = x-? (A x? + 2B xy + G y 2 ) 
4- 2x 1 y 1 {A' x 2 + 2 B' xy + G' y 2 ) 
+ y* (A"a?+2B"xy+C"y*); 
on a simplement 
WU=f&U, 
en représentant par & la déterminante formée avec les coefficients 
A , B, G; 
A', B, (7; 
A", B", G"- 
et multipliée par 2 8 . Mais il faudrait développer tout cela beaucoup plus loin. 
P.S. Je ne sais pas si l’on a jamais discuté la question suivante, qui doit conduire, 
il me semble, à des résultats importants. Soient L, M, L', M', U, V des fonctions 
de x. En éliminant cette variable entre les équations LU + MV =0 et LU + M'V = 0, 
et en représentant l’équation ainsi obtenue par [LU + MV, LU 4- M'V] = 0, et 
de même par [U, V] = 0 l’équation obtenue en éliminant x entre U =0, V = 0, 
il est clair que [LU + MU, LU + M'V] contiendra [U, V] comme facteur: quelles 
sont maintenant les propriétés de l’autre facteur qu’on peut écrire sous les trois 
formes: [LU + MV, LU + M'V] : [U, V], [LU + MV, LM'- LM] : [L, M] et 
[L'U + M'V, LM'-LM] : [L, M']) ?