MEMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 
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théorie des fonctions elliptiques, je déduis les propriétés fondamentales des fonctions 
en question, et de la des fonctions elliptiques. On a ainsi quatre fonctions à considérer 
au lieu des deux H, ©, dont lune est pour ainsi dire analogue à un sinus et les 
autres à des cosinus. Mais ce qu’il y a de remarquable, c’est l’apparition d’un 
facteur exponentiel qui entre presque partout. On le prévoyait d’après les formules de 
M. Jacobi, mais ces formules n’expliquent pas, ce me semble, pourquoi ce facteur s’y 
rencontre: mon analyse le fait voir de la manière la plus satisfaisante. Ce facteur 
résulte, en effet, de ce que, pour les produits infinis doubles, il ne suffit pas, pour 
obtenir un résultat déterminé, d’attribuer aux deux entiers variables des valeurs quel 
conques depuis —oo jusqu’à oo, même en supposant l’égalité des valeurs positives 
et négatives ; il faut, en outre, établir une relation entre les valeurs infinies que 
reçoivent les deux variables. Mais dans les produits que je considère, on démontre 
qu’en supposant toujours cette égalité des valeurs positives et négatives, quelque liaison 
que l’on établisse entre les valeurs infinies, il résulte toujours la même valeur du 
produit, à un facteur exponentiel près, dont l’indice est le carré de x, multiplié par 
une constante dont la valeur s’exprime au moyen d’une intégrale définie double, et qui 
dépend de la liaison établie entre les valeurs infinies des variables. C’est-à-dire qu’en 
multipliant par un facteur exponentiel de cette forme, convenablement choisi, on peut 
changer à volonté la relation en question sans affecter la valeur du produit. Voilà 
l’idée fondamentale du Mémoire qui suit. 
En me servant de quelques formules de M. Cauchy, relatives à la décomposition 
des fonctions en fractions simples, j’établis d’une manière rigoureuse des relations entre 
les trois quotients de mes quatre fonctions, qui sont les mêmes par lesquelles Abel 
démontre les propriétés fondamentales des fonctions <£, f F. Ces formules une fois 
obtenues, on peut supposer connue toute la théorie des fonctions elliptiques. Ces 
théorèmes de M. Cauchy me conduisent, en outre, à un grand nombre de nouvelles 
formules qui contiennent des suites infinies doubles. Parmi celles-ci, il y en a une 
qui me fournit la démonstration du théorème déjà cité de M. Jacobi, théorème duquel 
il déduit une foule de résultats intéressants. Je finis en citant ceux qui se rapportent 
de plus près aux fonctions dont je parle. J’espère reprendre une autre fois la con 
sidération d’une autre partie de la théorie, dans laquelle j’entrevois des conclusions 
intéressantes. 
Soient H, T des quantités finies quelconques, assujetties à la seule condition que 
la fraction il : T ne soit pas réelle. En représentant par m, n des entiers positifs 
ou négatifs quelconques, mettons, pour abréger, 
mil + nT = (m, n) (1), 
et considérons une expression de cette forme 
u = æll {l + / -- si (2), 
{ (m, n)J 
où le symbole II dénote, comme à l’ordinaire, le produit d’un nombre infini de facteurs 
que l’on obtient en donnant à m, n des valeurs entières quelconques, depuis — oc jusqu à