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MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 
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Pour avoir la seconde partie de A, il faut changer m, n, O, T en n, m, T, il. En 
faisant cela, on change le signe de wv - œ'v ; ainsi il faut écrire L T1[i au lieu de L± ni . 
En réunissant les deux parties, et mettant hr au lieu de arc tan n + arc tan — on 
m n 
obtient enfin 
formule que l’on pourrait rendre plus simple en distinguant les deux cas où le premier 
ou le second logarithme a une valeur principale ; mais il vaut mieux la laisser sous 
cette forme. 
On aurait pu croire que la valeur de A pourrait s’obtenir plus facilement en 
réduisant A à la différence de deux intégrales définies, les conditions pour les limites 
étant données, dans la première, par m 2 < m a , w 2 <n 2 , et, pour la seconde, par m 2 + n 2 < T\ 
en désignant généralement les coordonnées par m, n. Cependant, de cette manière, on 
admet dans les deux intégrales les valeurs m = 0, n = 0, qui rendent infinie la fonction 
à intégrer. Ainsi la valeur de l’intégrale dépendrait du choix des variables, et l’on 
obtiendrait des résultats inexacts. Autrement dit, on obtiendrait de cette façon la 
valeur de A, à une quantité V près, qui est la différence de deux intégrales de la 
même forme, entre des limites m 2 < /A, n 2 < v 2 ou m 2 + n 2 < t 2 , ya, v, r des quantités 
infiniment petites. On voit tout de suite que V n’est pas pour cela infiniment petit 
(en effet, sa valeur dépend du rapport ya : v et nullement des valeurs absolues de ces 
quantités), et, pour en trouver la valeur, il faudrait se servir de l’analyse précédente. 
Soit, comme exemple, — = oo , 
r n 
A il 2 + T 2 
TV a n 
De meme, pour — = oc , 
r m 
En représentant par A', A" ces deux valeurs de A, on a 
(10), 
où j’écris 
(11). 
C. 
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