1G2 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. [25 
en prenant toujours le signe supérieur pour œv' — oy'v positif, et le signe inférieur pour 
cov' — w'v négatif. 
Soient Ug ce que devient u en prenant ~ = oo, ii_g ce que devient cette même 
fonction en prenant ~ = 00 i on a évidemment 
: u g = e - * * 1 2 = e Sx ~. 
On peut donc s’imaginer une fonction U donnée par les équations 
U = e -P» 2 w ._ g = e i8x2 ug (12). 
On verra dans la suite que ug est analogue à la fonction H (u) de M. Jacobi. Il 
convient cependant, pour la symétrie, de considérer, au lieu de u g , la nouvelle fonction 
U qui vient d’être définie. Quoique suffisamment donnée par ces équations, nous 
allons en chercher encore une autre définition. Pour cela, il faut trouver la valeur 
de l’intégrale définie qui détermine A, prise depuis la même limite inférieure jusqu’à 
celle donnée par l’équation 
mod (m, n) = T. 
Mettons, comme auparavant, 
m — r cos 6, 
n = r sin 0 ; 
soient aussi 
fìj = Ct) — co'i, 
Tj = v — v'i. 
L’équation pour la limite supérieure se réduit à 
r 2 (il cos 6 + T sin 6) (ilj cos 6 + Tj sin 6) = T 3 , 
et celle pour la limite inférieure, à 
On trouve tout de suite 
log (fl cos 6 4- T sin 6) (flj cos 0 + T t sin 0) dO 
(fl cos 6 + T sin 6y 
1 t 1 
2T (fl + T tan 6) 
log (fl cos 6 + T sin 6) (flj cos 0 + T, sin 6) (entre d — 0, 
1 f » dd / T — fl tan 6 Tj — flj tan 0\ 
2T J « fî + T tan 0 V fî + T tari f) + fl, + T. tan 6J 
1 f ^ dd /T — fl tan 6 Tj — flj tan 6\ 
T J _ fl + T tan 6 Vil + T tan 6 + n, + T] tan 6) 
m