166 
MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 
[25 
où n se rapporte à la seule variable n qui doit s’étendre depuis — n jusqu’à n. 
Puisqu’ainsi n ne reçoit jamais des valeurs qui soient comparables à m, chacun de 
ces produits se réduit à l’unité, et l’on obtient 
ou enfin 
en posant 
u'§ : u s = A', 
u' s = — u g .. 
x = ^ il, 
et remarquant que u est fonction impaire de x, ce qui donne 
A' = - 1. 
(18), 
Soit de même u"g ce que devient Ug en changeant x en x + T. On a pareillement 
x 
u"g : u g = A"U 1 + 
(m, n + 1) 
: n 1 + 
(m, — n)/ ’ 
où II se rapporte à la seule variable m. Mais ici les produits ne se réduisent point 
à l’unité ; en effet, 
n 1 + 
(m, n + 1) 
ou fl ( 1 + 
(m, n) 
nT 
mil 
= (, + nT)n(l+*-^-):nTn (l + 
• 77" / * 7T r y> 
= sm ^ (x + nT) : sm ^ nT. 
Mais quand la partie imaginaire de 6 est infinie, on trouve 
sin 6 = (e ei - e~ 6i ) = ± ^ € ±dl , 
iT 
selon que la partie réelle de ôi est positive ou négative. Or la partie réelle de 
est de signe contraire à wv — w'v ; on a donc 
x 
n 1 + 
de même, 
et de là 
(m, n + 1) 
nfi + 
= a x = • 
_ 
(m, — n)/ 
u"g = A"e-^*Ug 
(19), 
équation de la même forme que celle que l’on obtiendrait en posant