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MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 
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Réduisons en fractions simples la fonction 
En écrivant 
on obtient 
Donc 
c’est-à-dire 
gx Gx : yx Zx. 
gxGx : y xZx = Zi\L{x — {m, w)) -1 + M [x — (ni, n)} -1 ], 
L=g(m, n) G {m, n) : y'(m, n) Z (m, n) = 1, 
M = g (m, n) G (ni, n) : y (ni, n) Z' (ni, n) = B”G" — A"D" = 1. 
gx Gx : yx Zx = ^t {x — (m, n)} -1 — S {x — (ni, n)} -1 , 
gx Gx : yx Zx = (y'x : yx) — (Z'x : Zx). 
(Nous allons bientôt justifier, au moyen d’un théorème de M. Cauchy, l’emploi de 
cette méthode de décomposition en fractions simples qui ne s’applique pas toujours aux 
fonctions transcendantes.) 
On obtient de même 
f gx Zx : yx Gx = (y' x 
GxZx : yx gx = (y'x 
(I) 
. — IfyzZx : gx Gx = (g'x 
ë 2 yxgx : Gx Zx = (G'x 
c 2 yxGx : Zx yx = (Z'x 
yx) — (G'x : Gx), 
y x)~(g'x : ga;), 
g x) — ( G'x : Gx), 
Gx) — (Z'x : Zx), 
Zx) - (y' x : y x), 
en mettant, pour abréger, 
(j) 
'y(iT) : 
■ y (JO) : Z(ia) = - c , 
7 (i a,) : G(iQ) = -»y(lT)+g(|T)-J. 
V u 
Donc, en éliminant les fonctions dérivées, 
G-x — Z-x = e 2 y' 2 x, 
g 2 x — G 2 x = — b 2 y 2 x, 
Z 2 x — g 2 x = c 2 y 2 x, 
î 1 , 
1 J’ai écrit - au lieu de - pour me conformer à la notation d’Abel ; il est à peine nécessaire de remarquer 
e e 
que c, e sont, en général, l’une et l’autre des quantités imaginaires.