MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 
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on peut donc de ce point supposer connues toutes les propriétés des fonctions elliptiques. 
On a, par exemple, 
et de là 
« \/(l - cY) (1 + ëhf) ’ 
(R) 
i 
6 dy_ 
0 J(l - cy) (1 + eY) ’ 
qui déterminent O, T en fonction de c, e. Il paraît au premier abord que T, il soient 
des fonctions parfaitement déterminées de c, e. J’ai des raisons pour croire que cela 
n’est pas précisément le cas, et que la question admettrait des développements intér 
essants ; mais je réserve ce sujet pour une autre occasion. 
On peut, à l’aide des équations entre y(-^il), &c., et les quantités c, e, exprimer 
cette suite de fonctions en termes de c, e. On déduit: 
r y (i 41) = b~i cri qi -i } y (1 T) = ib-ieriq-i ; 
g (*Û)-0, g(*T)-6*ir* r *; 
' G^n) = bic-iqrK G(*T)=0; 
(S) 
\Z (i 41) = Iri à qri, Z{\ T) = b-i ei q-i ; 
et de là 
r A = b-ic~iqri, A'=ib-ie-iq~K A" = (-)* cri g-i qi ~iq-i ; 
B = — bi ci q{~i, B' = bie-iq-i , B" = - (-)* ici e~i qr h q~* ; 
G =bi c~i qri , G'=- ibiei q~i , G" = (-)* c~i e* Ç r* q~ k ; 
k D = b~i ci qr* » iy — b~i ei q~i , D" — — (—)* ici ei qr “ q~i ; 
qu’on doit introduire dans toutes les formules où entrent les quantités A, B, &c. 
Voici le théorème de M. Cauchy {Exercices de Mathématiques, tome II. page 289) : 
“ Si, en attribuant au module r de la variable 
z = r (cos p + i sinp) 
des valeurs infiniment grandes, on peut les choisir de manière que les deux fonctions 
fz+f(-z) fz-f(-z) 
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deviennent sensiblement nulles, quel que soit l’angle p, ou du moins que chacune de 
ces fonctions reste toujours finie ou infiniment petite, et ne cesse d’être infiniment