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MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 
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Soit, pour abréger, 
on a cette équation, 
(X) 
M = 
e 2 c 2 
lï 
(45); 
Zx— c №- M ) x2+e * c ' i \* dx \l^ xdx , 
qui exprime la fonction Zx au moyen de cf>x. C’est, en effet, la formule remarquable 
de M. Jacobi, que nous avons citée dans l’introduction de ce Mémoire. 
En changeant seulement la notation, on a, d’après M. Jacobi, 
¿2 (x \g\- & (x - g\ - 4 a f a Fa 4>*f*Fœ) 
^ * (1 + e 2 c 2 <fa fx) 2 
(46), 
f {0 2 (x +a)- cf) 2 (,x - a)} dx = (47), 
J o . 1 + e 2 c 2 fa (f) 2 x 
ou, ce qui est la même chose, 
/>(.+«)<to-jV(.-«),to-i£*itafa = m 
De là, en multipliant par e 2 c 2 , et faisant attention à la valeur de Zx, 
Z' (x + a) _ Z' (x — a) 2Z'a, _ 2e 2 c 2 <pa fa Fa (jrx ( 
Z (x+ a) Z (x — a) Za 1 + e 2 c 2 fa fx ^ 
Ecrivant dans cette équation a, x au lieu de x, a, et ajoutant, on obtient 
Z'x Z'a Z'(x + a) . . 
zi + ~zi - zJiTâ) = <**<#>«ï**(« + «) (••>0). 
En intégrant la même équation par rapport à a, 
log Z (x + a) + log Z (x — a) — 2 log Zx — 2 log Za\ 
r ( ol )> 
= log (1 + e 2 c 2 fa fx) J 
c’est-à-dire 
Z (x + a) Z(x - a) = Z 2 x Z 2 a (1 + e 2 c 2 (fa fx) (52), 
ou, ce qui est la même chose, 
Z (x + a) Z (x — a) = Z 2 x Z 2 a + e 2 c 2 y 2 x y 2 a (53), 
de laquelle on déduit facilement, en écrivant æ + £iî, x + £T, æ + £fi + £T au lieu 
de x, les équations complémentaires 
[ y (x + a) y (x - a) = y 2 x Z 2 a - y 2 a Z 2 x, 
(Y) ij g (x + a) g (x - a) = g 2 x Z 2 a - c 2 g 2 aZ 2 x, 
V G (x+ a) G (x — a) = G 2 x Z 2 a + e 2 G 2 a Z 2 x.