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26] MÉMOIRE SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 
Éliminons des équations (5) et (11) les cinq quantités X, p, v, p, p. Pour opérer de la 
manière la plus élégante, formons d’abord les équations identiques 
ce qui donne 
[/«' - pX-vp (X - /¿)] (v - p) (Xp + X + fi) 
+ [pv - pX + Xp(v — p)] (X — p) (vp + v + p) 
= (vX - fip) [Xfi (v - p) - vp (X - p) + 2 (fiv - p\)] f 
\fi (v - pf -vp(X- fif = (pv - pX) (Xv - pp), 
A (G - B) ( 7 - a) + B (C + A) (S - §) \ 
k 
= - iy\ - pp) (2C + A — B), I 
A‘ 2 7 — B' 2 8 = Xpvp (vX — pp) C, 
p 
et de là 
G [A {G-B) (ry- a ) + B(C + A){h-g)] 
+ (2C + A-B) (A 2 y - B°-8) 
ou, toute réduction faite, 
A (A + G) (A + G-By) + B (G- B) (A + B - CB) 
- AG(C-Ba)-BG(C+Aë) 
= 0 
= 0 
•(12), 
.(13), 
•(14), 
.(15); 
et puisque cette équation est du troisième ordre à l’égard des quantités A, B, G, il est 
évident que la ligne donnée par l’équation (10) est toujours tangente à une certaine 
courbe de la troisième classe. En supposant 7 = 0, 8 = 0, ce qui réduit la courbe du 
troisième ordre aux lignes R= 0, >8 = 0, (§ - a) 0 - §R — aS = 0, l’équation (15) se partage 
dans les deux équations 
0 = 0, A (C-B)oc + B(C + A) g=0 (16), 
et la courbe de la troisième classe se réduit au point (R = 0, S = 0) et à une conique. 
Cela est un théorème connu, car l’on sait bien que si A, A' sont des points quelconques 
sur deux droites données a, a', et B, B' deux autres points déterminés, sur ces droites, de 
manière que l’intersection des lignes AB', A'B soit toujours sur une ligne droite donnée, 
les deux lignes a, a! sont divisées homographiquement, B, B' étant deux points corre 
spondants ; et de plus, que la ligne qui unit les points correspondants de deux lignes 
divisées homographiquement, est toujours tangente à une certaine conique. Quant au 
point d’intersection des lignes a, a!, que nous venons de trouver comme formant avec la 
conique une courbe de la troisième classe, on observera que, dans notre théorie, non- 
seulement les points des lignes a, cl se correspondent, mais que le point d’intersection 
des lignes a, a' correspond à tous les points de la troisième droite. La conique touche 
les deux droites cl, cl ; cela n’a pas, je crois, d’analogie dans la théorie générale.