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26] MÉMOIRE SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE.
Éliminons des équations (5) et (11) les cinq quantités X, p, v, p, p. Pour opérer de la
manière la plus élégante, formons d’abord les équations identiques
ce qui donne
[/«' - pX-vp (X - /¿)] (v - p) (Xp + X + fi)
+ [pv - pX + Xp(v — p)] (X — p) (vp + v + p)
= (vX - fip) [Xfi (v - p) - vp (X - p) + 2 (fiv - p\)] f
\fi (v - pf -vp(X- fif = (pv - pX) (Xv - pp),
A (G - B) ( 7 - a) + B (C + A) (S - §) \
k
= - iy\ - pp) (2C + A — B), I
A‘ 2 7 — B' 2 8 = Xpvp (vX — pp) C,
p
et de là
G [A {G-B) (ry- a ) + B(C + A){h-g)]
+ (2C + A-B) (A 2 y - B°-8)
ou, toute réduction faite,
A (A + G) (A + G-By) + B (G- B) (A + B - CB)
- AG(C-Ba)-BG(C+Aë)
= 0
= 0
•(12),
.(13),
•(14),
.(15);
et puisque cette équation est du troisième ordre à l’égard des quantités A, B, G, il est
évident que la ligne donnée par l’équation (10) est toujours tangente à une certaine
courbe de la troisième classe. En supposant 7 = 0, 8 = 0, ce qui réduit la courbe du
troisième ordre aux lignes R= 0, >8 = 0, (§ - a) 0 - §R — aS = 0, l’équation (15) se partage
dans les deux équations
0 = 0, A (C-B)oc + B(C + A) g=0 (16),
et la courbe de la troisième classe se réduit au point (R = 0, S = 0) et à une conique.
Cela est un théorème connu, car l’on sait bien que si A, A' sont des points quelconques
sur deux droites données a, a', et B, B' deux autres points déterminés, sur ces droites, de
manière que l’intersection des lignes AB', A'B soit toujours sur une ligne droite donnée,
les deux lignes a, a! sont divisées homographiquement, B, B' étant deux points corre
spondants ; et de plus, que la ligne qui unit les points correspondants de deux lignes
divisées homographiquement, est toujours tangente à une certaine conique. Quant au
point d’intersection des lignes a, a!, que nous venons de trouver comme formant avec la
conique une courbe de la troisième classe, on observera que, dans notre théorie, non-
seulement les points des lignes a, cl se correspondent, mais que le point d’intersection
des lignes a, a' correspond à tous les points de la troisième droite. La conique touche
les deux droites cl, cl ; cela n’a pas, je crois, d’analogie dans la théorie générale.
