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27] NOUVELLES REMARQUES SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 
Chaque conique peut se réduire à une paire de points qui correspondent aussi aux 
coniques (ce qui justifie la dénomination que nous avons donnée à ces coniques). 
Considérons un quadrilatère inscrit AA', BB', H h, la conique d’involution tangente aux 
côtés de ce quadrilatère, et deux paires LL', MM' de points correspondants, ces paires 
étant correspondantes l’une à l’autre et à la conique d’involution. On sait que les 
lignes menées d’un point quelconque, et ainsi du point P de la courbe, par les points 
A, A', B, B', forment avec les tangentes à la conique menées par ce même point, un 
faisceau en involution. Mais PA, PA', PB, PB', PL, PL', et de même PB, PB', 
PL, PL', PM, PM', forment aussi des faisceaux en involution ; donc les deux tangentes 
forment, avec PL, PL' et PM, PM', un faisceau en involution. De même, avec une 
conique correspondante à la première, PL, PL’, PM, PM' et les deux tangentes 
forment un faisceau en involution ; donc PL, PL' et les quatre tangentes forment un 
faisceau en involution, et de même en introduisant la troisième conique. 
Théorème II. “ On peut circonscrire à une conique d’involution donnée une 
infinité de quadrilatères inscrits correspondants au premier.” 
Soient A, A', B, B', H, h comme auparavant ; et A l , A\ une paire de points 
correspondants qui correspondent à ceux-ci; en menant par A lt A\ des tangentes à la 
conique qui se rencontrent en B lt B\, Hy, h lf on voit d’abord que les lignes PA, PA', 
PA 1} PA\ et les tangentes à la conique forment un faisceau en involution; et récipro 
quement, chaque point P qui satisfait à cette condition appartient à la courbe. Mais 
en prenant, par exemple, pour P le point B ly les lignes PAy, PA\ deviennent iden 
tiques avec les deux tangentes, ce qui satisfait à la condition d’involution. Donc 
B 1} B\, Hy, h y appartiennent à la courbe, ou A x , A\, B 1} B\, Hy, hy forment un quad 
rilatère inscrit correspondant au premier ou à la conique. 
Théorème III. “Les centres d’homologie de deux coniques d’involution correspon 
dantes forment un quadrilatère inscrit correspondant aux coniques.” 
Considérons les deux coniques et une troisième conique quelconque. Chaque point 
P pour lequel les six tangentes forment un faisceau en involution appartient à la 
courbe. En prenant pour P un centre d’homologie des deux premières coniques, les 
deux paires de tangentes deviennent identiques, ce qui satisfait à la condition d’invo 
lution ; donc les six centres d’homologie sont sur la courbe, ou ces six points sont les 
sommets d’un quadrilatère inscrit qui correspond aussi aux coniques. 
Réciproquement, 
Théorème IV. “ Le lieu d’un point P qui se meut de manière que les tangentes 
menées par ce point à trois coniques données quelconques, forment toujours un faisceau 
en involution, est une courbe du troisième ordre qui passe par les dix-huit centres 
d’homologie des coniques prises deux à deux, ces centres formant six à six des quadri 
latères inscrits correspondants.” 
La démonstration analytique de la première partie de ce théorème, quoique longue, 
me paraît assez intéressante pour trouver place ici. Pour plus de symétrie, prenons 
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r t 
pour les coordonnées indéfinies d’un point, et représentons par 
T = 0, T' = 0, T" = 0,