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NOUVELLES REMARQUES SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. [27 
les équations des trois coniques, T, &c. étant des fonctions homogènes de la forme 
T = A p + By 2 + C£ 2 + 2FyÇ+ 2 GÇÇ + 2HÇy, &c. 
Soient -, ^ les coordonnées du point P ; mettons, pour abréger, 
U = Ax 2 + By 2 + Gz 2 + 2 Fyz + 2Gzx 4- 2 Hxy, 
W = Axg + Byy + CzÇ + F (yÇ + yz) + G (z% + Çx) + H (xy + y%) 
(de manière que W = 0 serait l’équation de la ligne polaire du point P). Nous avons 
UT -W 2 = 0, 
pour l’équation des deux tangentes menées par le point P à la conique. Cela est 
probablement connu. Il est clair d’abord que cette équation appartient à une conique 
qui a un double contact avec la conique donnée, et par la forme à laquelle nous 
allons réduire cette équation, on voit ensuite qu’elle appartient à un système de deux 
droites qui passent par le point P. En développant et écrivant 
BC - P 2 = a, CA- G 2 = b, AB- H 2 = c, 
GH - AF=/, HF-BG = g, FG - CH = h, 
on trouve, en effet, 
a (yÇ — zy) 2 + b (zt; — xÇf + c (xy — y£f 
+ - xÇ) (xy - yÇ) + 2g (xy - yÇ) (yÇ - zy) + 2h {yÇ - zy) (zÇ - xÇ) = 0, 
et de là, en posant 
M = bz 2 + cy 2 — %fyz, = ayz — gxy — hxz + fx 2 , 
23 = ex 2 + az 2 — 2 gxz, (*5 = bzx — hyz — fxy + gy-, 
= ay 2 + bx 2 — 2hxy, = cxy — fxz — gyz 4- hz 2 , 
on obtient 
ap+33/+- 2®fr- mty=o. 
ou, en transportant l’origine au point P, 
ap +33/ -mty = o; 
et de même, pour l’équation des tangentes, par ce même point aux deux autres coniques 
&'F + 33V-2W^ = o, 
a"p + 33"/-2pTP? = 0. 
On obtient donc, pour la condition que ces lignes forment un faisceau en involution, 
a, 
33 , 
n ~ 
a', 
33', 
w 
a*, 
33", 
W-