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MÉMOIRE SUR LES COURBES À DOUBLE COURBURE 
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Supposons qu’un plan donné contient, en général, m points du système, qu’une ligne 
donnée rencontre, en général, r lignes du système, qu’un point donné est situé, en 
général, dans n plans du système. Le système est dit être de l’ordre m, du rang r, 
de la classe n. On voit tout de suite que l’ordre de la courbe est égal à l’ordre du 
système, ou à m; la classe de la courbe au rang du système, ou à r. Et de même, 
l’ordre de la surface au rang du système, ou à r; la classe de la surface à la classe du 
système, ou à n. 
Cela posé, les singularités proprement dites (ouvrage cité, page 202) sont les deux 
suivantes, analogues aux points d’inflexion et de rebroussement dans les courbes planes: 
1. Quand quatre points consécutifs sont situés dans le même plan, ou, autre 
ment dit, quand trois lignes consécutives sont situées dans le même plan, ou quand 
deux plans consécutifs deviennent identiques; je dirai qu’il y a alors un plan station 
naire, et je représenterai par la lettre a le nombre de ces plans. 
2. Quand quatre plans consécutifs se rencontrent dans le même point, ou, autre 
ment dit, quand trois lignes se rencontrent au même point, ou quand deux points 
consécutifs deviennent identiques ; je dirai qu’il y a alors un point stationnaire, et je 
représenterai par § le nombre de ces points. 
Dans le premier cas, il y a un point d’inflexion sphérique dans la courbe, et une 
ligne d’inflexion dans la surface. On n’a pas donné de noms à ce qui arrive dans la 
courbe et la surface dans le second cas ; et puisque la singularité est suffisamment 
distinguée déjà en la nommant point stationnaire, il n’est pas necessaire de suppléer à 
cette omission. On peut dire que ces deux cas sont les singularités simples d’un 
système. Il y a des singularités d’un ordre plus élevé dont on n’a pas besoin ici. 
Ensuite, il y a des singularités d’une autre espèce, en quelque sorte analogues aux 
points et tangentes doubles, mais qui ont rapport à un point ou plan indéterminé 
(hors du système) ; savoir : 
3. Un plan donné peut contenir, en général, un nombre g de lignes dans deux plans. 
4. Un point donné peut être situé, en général, dans un nombre h de lignes par 
deux points. 
5. Un plan donné peut contenir, en général, un nombre x de points dans deux lignes. 
6. Un point donné peut être situé, en général, dans un nombre y de plans par 
deux lignes. 
Ces quatre cas sont les singularités impropres simples du système. 
Il faut maintenant chercher les relations qui ont lieu entre les nombres m, r, n, 
a, €, g, h, x, y. 
Citons d’abord les formules de M. Plücker pour les courbes planes (page 211), en 
changeant seulement les lettres, pour éviter la confusion. En représentant par g l’ordre 
d’une courbe, par v sa classe, par £ le nombre de ses points doubles, tj de ses points