210 MÉMOIRE SUR LES COURBES A DOUBLE COURBURE [30 
la classe r, le nombre des lignes doubles n, des lignes de rebroussement £, des plans 
tangents doubles y, des lignes d’inflexion h, ce qui donne les équations (dont trois 
seulement sont indépendantes) : 
r — m . m — 1 — (2h + 3£), 
n = 3m . m — 2 — (Qh + 8£), 
y=|m.m-2m 2 -9 - (2 h + 3£; (m. m — 1 — 6) + 2h. h — 1 + § £. £ — 1 + 6/?£ ; 
m = r . r — 1 — (2y + Sn), 
£ = 3r .o— 2 — (Qy + 8n), 
h — ^r.r— 2 r 3 — 9 — (2?/ + 3n) (r. r — 1 — 6) + 2y.y — 1 + § w. ?î — 1 + 6;y?i 
(dans lesquelles on remarque la correspondance r, n, y ; m, £, h : et, en les comparant 
avec les autres six équations, la correspondance m, r, n, a, £, g, h, x, y, n, r, m, £, a, A, 
9’ V’ x )• 
En considérant une courbe à double courbure d’un ordre donné m, on peut 
attribuer à h, £ des valeurs quelconques (entre certaines limites), et l’on a alors, pour 
déterminer les autres quantités, les équations suivantes: 
r = m . m — 1 — (2h + 3£), 
n — 3m . m — 2 — (Qh + 8£), 
y = \m.m — 2 m 2 — 9 — (2h + 3£) (m.m — 1— 6) + 2h.h — 1 + § £. £ — 1 + 6à£; 
n = r .i— 1 — (2x + 3m), 
a = 3r . ?— 2 — (6æ + 8m), 
g = .r — 2 r 2 - 9 — (2& + 3 m) (r.?— 1 — 6) + 2& . a; — 1 +1 m . m — 1 + Qxm. 
Au cas d’une courbe plane les trois premières équations continuent d’être vraies, mais 
les trois autres n’ont pas de sens. Le cas le plus simple est celui d’une courbe du 
troisième ordre dans l’espace. On a, dans ce cas, m = 3, n = 1, £ = 0; et de là le système 
m, n, r, a, £, g, h, x, y ; 
3, 3, 4, 0, 0, 1, 1, 0, 0; 
c’est-à-dire l’osculatrice développable d’une courbe du troisième ordre est une surface 
du quatrième 
h = 2, £ = 1, ce 
ordre, &c. 
qui donne 
On 
obtient 
aussi 
un 
système 
très-simple, en écrivant m = 
m, 
n, r, 
a, 
e, 
9> 
h, x, 
y; 
4, 
4, 5, 
1, 
i, 
2, 
2, 2, 
2.