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49. 
SUR QUELQUES FORMULES DU CALCUL INTÉGRAL. 
[From the Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (Liouville), tom. xn. (1847), 
pp. 231—240.] 
Soit x + 3/ V- 1 ou ¡5 + iy une quantité imaginaire quelconque ; faisons 
p=\/x 2 +y 2 , 0 = arc tan ^ (1 ), 
p étant une quantité positive, et 6 un arc compris entre les limites \nr, — \ ir. Cela 
posé, écrivons 
{x + iy) m = p m e ime (x positif) ,) ^ 
(x + iy) m = p m e im {e±7T) (x négatif) > J 
(dans la seconde de ces formules, il faut prendre le signe supérieur ou inférieur, selon 
que y est positif ou négatif.) Au cas de x positif, la valeur du second membre sera 
ce que M. Cauchy a appelé valeur principale de (x + iy) m . Au cas de x négatif, on 
peut aussi, à ce qu’il me semble, nommer cette valeur valeur principale. Cela paraît 
contraire à la théorie de M. Cauchy {Exercices de Mathématiques, t. i. [1826] p. 2) ; 
mais la démonstration que l’on y trouve de l’impossibilité d’une valeur principale pour 
x négatif ne s’applique qu’au cas où l’on suppose que le signe ± est toujours le même 
sans avoir égard au signe de y. Seulement, selon nos définitions, il importe de 
remarquer qu’il n’y a pas de valeur principale pour x négatif, au cas particulier où 
y = 0 ; ou plutôt dans ce cas, et dans ce cas seulement, la valeur principale devient 
indéterminée. 
Soit, en particulier, x = 0 ; les deux formules conduisent au même résultat, savoir 
{iy) m = (+ y)™ e ±im*i (3),