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SUR QUELQUES FORMULES DU CALCUL INTÉGRAL. 
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le signe comme auparavant. Car en considérant x comme infiniment petit positif, on 
obtient 
0 = ± , 
et, en considérant x comme infiniment petit négatif, 
6 = + |7T , 
et de là 
6 ± ir = + \ir . 
Ainsi cette formule est toujours vraie, sans qu’il soit nécessaire de considérer iy comme 
limite de * + iy, x positif ou x négatif. 
Remarquons encore que cette fonction {iy) m reste continue quand y passe par zéro, 
ce qui a lieu aussi pour (x + iy) m , x positif, mais non pas pour (x + iy) m , x négatif. 
Les mêmes remarques s’appliquent aux valeurs principales des logarithmes, lesquelles 
doivent se définir d’une manière analogue par les équations 
log (x 4- iy) = log p + id (x positif), ) 
log (x + iy) = log p + i {6 ± ir) (x négatif), j 
(4), 
le signe ambigu, comme auparavant. 
On démontre sans difficulté que ces valeurs principales satisfont en tout cas aux 
équations 
(x + iy) m (x + iy') m = [(& + iy) {x' + iy')] m , ) 
[ (5) ; 
log (x + iy) log (x' + iy ) = log [{x + iy) (x' + iy')] ) 
seulement ces équations deviennent indéterminées au cas où, l’une des quantités 
x, x, xx' — yy' étant négative, la quantité correspondante y, y', xy + xy s’évanouit. 
Au moyen de cette définition de la valeur principale d’un logarithme, on obtient 
dx 
p A + Bx 
= l°g 
A + Boi 
4+m 
(6), 
où a, ¡3 sont réels, et A, B sont assujettis à la seule condition qu’au cas où a, A 
A 
seraient de signes contraires, la partie imaginaire de 77 ne s’évanouisse pas. En effet, 
dans ce cas, l’intégrale et la valeur principale du logarithme deviennent toutes les deux 
indéterminées. Sans doute il y a une valeur que l’on peut appeler 'principale de 
l’intégrale, mais cette valeur n’est égale à aucun des logarithmes de ^ 6S 
notions des valeurs principales d’une intégrale et d’un logarithme n’ont pas de rapport 
ensemble. Ce résultat s’accorde avec celui que j’ai trouvé dans mon Mémoire “Sur les 
fonctions doublement périodiques,” [25].