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SUR QUELQUES FORMULES DU CALCUL INTÉGRAL. 
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dans lesquelles formules c est positif, et r est un nombre quelconque entre 1, — oo, 
sans exclure la limite supérieure ; seulement, pour r = 0, le facteur sin VTrTr se réduit 
à 7r. Au cas où r est plus grand que zéro, on peut, si l’on veut, écrire aussi c = 0. 
Dans tous les cas, on peut remplacer sin rirYr par 
. Il importe de remarquer 
T ( L — r) 
que ces mêmes intégrales sont absolument inexprimables au cas où c est négatif : en 
effet, en écrivant — c au lieu de c (c positif), on obtiendrait 
r * r 00 r 0 
I (— c + ix) r ~ x e lx dx = e ir ~ 1)7Tl I (c — ix) r ~ x e ix dx + e~ {r ~ x) ni I (c — ix) r ~ x e lx dx. 
J — oo J 0 J —oo 
Mais, par la seconde des équations dont il s’agit, 
r x r 0 
0=1 (c — ix) r ~ x e ix dx + j (c — ix) r ~ l e ix dx ; 
J 0 J —oo 
donc 
I (— c + ix) r ~ 1 e ix dx — — 2 i sin ml (c — ix) r ~ l e xx dx. 
J —co J 0 
Or l’intégrale au second membre ne peut pas s’exprimer par les transcendantes connues, 
à moins que r ne soit entier. Écrivons encore, c étant toujours positif, 
I 
Toutes les fonctions 
[ (c + ix) r ~ 1 e ix dx, 
J 0 
11 = ( (c — ix) r ~ x e ix dx, 
J 0 
1 2 = f (c + ix) r ~ l e~ ix dx, 
J 0 
Is = (c — ix) r ~ l e~ ix dx. 
J 0 
J (± c ±ix) r ~ x e ±ix dx, 
(9). 
entre les limites 0, oo, ou — oo, 0, ou — oo, oo, s’expriment facilement au moyen de 
I, I\> I‘2, T 3 . Mais ces quatre fonctions ne sont pas connues; seulement, au moyen des 
équations qui viennent d’être trouvées, on obtient 
2 sin m Yr .e~° = I + I 3 , j 
0 = /i+/ 2 .J 
On déduit encore de ces mêmes formules : 
sin m Fr. e~ c 
(10). 
= 1 (c + ix) r - 1 cos xdx= i I (c + ixy- 1 sin x dx, 
J — co J — co 
1*00 1*00 
= 1 (c — ix) r ~ x cos xdx = — i I (c — ix) r ~ x sin x dx. 
J — co J —co 
(11).